七章静定结构的位移计算.ppt
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1、第七章 静定结构的位移计算,本章提要,本章主要介绍了变形体的虚功原理,利用虚功原理,建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应用;建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同时介绍了线弹性变形体系的互等定理。 通过本章的学习,应掌握: 1.理解虚功原理; 2.掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用 3.掌握静定结构在支座位移时位移计算公式; 4.了解线弹性变形体系的互等定理。,本章内容,7.1 概述 7.2 变形体的虚功原理 7.3 荷载作用下位移计算的一般公式 7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 7.5 图乘法 7.6 静定结构在支座移动时位移计算 7.7 弹性变形体系互等定理,
2、7.1 概 述,7.1.1 结构的位移,结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下,将发生尺寸和形状的改变,这种改变称为变形。结构变形后,构件上各点的位置会发生变动,这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种: 线位移,即各截面形心的移动量; 角位移,即截面转动角度。 如图1,图2所示。其中: A 、B -绝对线位移; AB=A +B -相对线位移; A 、B -绝对角位移; AB -相对角位移。,图1,图2,7.1.2 结构位移计算的目的,(1) 为了校核结构的刚度,即保证结构的位移不超过允许值。 (2) 为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结构时,仅仅利用静力
3、平衡条件无法完全求解,还必须考虑位移条件。 另外,在结构的制作、架设、养护等过程中,往往需要预先知道结构的变形情况,以便采取一定的施工措施,因而也需要进行位移计算。,7.2 变形体的虚功原理,7.2.1 实功和虚功 一.实功 力在自身所引起的位移上做功, 称为实功。 如图 (a)中,力P的相应位移 =AAcos,力P所做的功: T=PAAcos 如图 (b)中,转盘受力偶M=PD作 用,力偶所做的功应为 : T=M. ,可以用一个公式来统一表达力或力偶做功: T = P. 其中: P 称为 广义力, 称为 广义位移。,二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功,称为虚功。其它因素如另外的荷载
4、作用、温度变化或支座移动等。,如图示简支梁,在P1作用下达到平衡时,P1作用点沿P1方向上产生的位移为11如图a示。然后再施加P2产生位移12, 12由零增加至最终值的过程中,P1保持不变是常力,因此P1沿12做虚功为: T12=P1.12,7.2.2 虚功原理 变形体的虚功原理可概括表述为: 外力虚功W=内力虚功W 做功的外力和内力称为力状态或第一状态,它们必须满足平衡条件;位移和变形称为位移状态或第二状态,它们必须满足变形和支座约束条件。 若取第一状态为实际状态,第二状态为虚拟状态,也就是虚功中力状态是实际的,位移状态是虚拟的,这时,虚功原理也称为虚位移原理; 反之,若取第一状态为虚拟状态
5、,第二状态为实际状态,也就是虚功中的力状态是虚拟的,位移状态是实际的,这时,虚功原理也称为虚力原理。,7.3 荷载作用下位移计算的一般公式,如图5(a)所示结构在均布荷载q作用下发生了图中虚线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移,如K截面的水平位移K。 首先,由虚功原理,确定两个状态:位移状态和力状态。 已知状态欲求位移,故定为位移状态。还须建立力状态,为此,在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1,它应与K相对应,如图5(b)所示。 其次,求外力虚功和内力虚功。 外力所做虚功为: W=PKK=K 内力所做虚功为: 在图5(a)上取ds微段,其上由于实际荷载所产生的,图5,内力
6、MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为d、d、d分别如图5(c)、(d)、(e)所示,分别为: 相对转角 d=1/ds=Kds 相对剪切变形d=ds 相对轴向变形d=ds 由材料力学公式,有:,微段上所做内力虚功为:,整根杆件的内力虚功可由积分求得为:,整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和,即 :,则,由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公式:,其中:,7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算,1、梁和刚架,2、桁架,一、计算公式:,二、计算步骤,(1) 根据欲求位移建立相应的虚拟状态; (2) 列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程; (3) 将各内力方程分别代入位移计算
7、公式,分段积分求总和即可计算出所求位移。,三、虚拟单位荷载的建立,(1) 欲求A点的水平线位移时,在A点沿水平方向加一单位集中力如图6(b)所示; (2) 欲求A点的角位移,在A点加一单位力偶如图6(c)所示;,(3) 欲求A、B两点的相对线位移,在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力,如图6(d)所示; (4) 欲求A、B两截面的相对角位移,在A、B两截面处加一对反向的单位力偶,如图6(e)所示。,图6,例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移BV。EI为常数。,解:(1) 取图(b)所示虚力状态。 (2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正 B为原点) MP=1/2qx
8、2 (0xl) M =x (0xl) (3) 将MP及M代入位移公式,得,例2 求图示简支梁在均布荷载q作用下:(1) B支座处的转角; (2) 梁跨中C点的竖向线位移。EI为常数。,解:(1) 求B截面的角位移。 在B截面处加一单位力偶m=1,建立虚力状态如图(b)。 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点): MP =ql2x-q/2x2 M =-1/lx 将MP、M代入位移公式得:,B的结果为负值,表示其方向与所加的单位力偶方向相反,即B截面逆时针转动。,(2) 求跨中C点的竖向线位移 在C点加一单位力P=1,建立虚力状态如图(c)所示 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以
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