第六章非线性微分方程.ppt
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1、第六章 非线性微分方程,6.1 自治系统与非自治系统,6.2 稳定性的基本概念,6.3 判定稳定性的 Liapanov 函数法,6.4 由线性近似系统判定稳定性,为什么要研究微分方程的定性理论?,由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求 得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等 方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径, 本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种重要的途径 是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方 法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不 通过求解而直接从微分方程
2、的系数去研究其解的主要特征和性态,这 就是所谓的定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了 解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析 法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效 果。限于篇幅,本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初 步知识,而且局限于对自治系统进行讲解。,6. 1 自治系统与非自治系统,(6. 1),(6. 2),6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别,自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自,治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.,轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点,
3、否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定性.,6.1.2 相平面、相轨线与相图,我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面 上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上 的图像称为(6.3)的相图.,(a),(b),6.2 稳定性的基本概念,6.3 判定稳定性的Liapunov函数法,定义6.3 设,6.4 由线性近似系统判定稳定性,称系统(6.11)的线性近似系统为,(6.10),(6.12),定理 6.2 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.10)的零解是渐近稳定的;,(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.10)的零解是不稳定的.,定理 6.3 (Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程,的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:,
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