第节关系的概念性质及运算.ppt
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1、1/25,第6节 关系的概念、性质及合成,主要内容: 关系的概念 关系的性质 关系的合成,2/25,定义1 设A,B是两个集合。AB的任一子集R称为从A到B的一个二元关系。,如果A=B,则称R为A上的一个二元关系。,1 关系的概念,如果(a, b) R,则称a与b符合关系R,并记为 aRb;,3/25,定义2 设RAB,集合 x x A且y B使得(x, y) R 称为R的定义域,并记为dom(R)。,例如:设A=1,2,3,4,B=a,b,c,d,e, (1,a),(2,b),(2,c),(3,c)是一个二元关系。,1,2,3是定义域,a,b,c是值域,一般情况下:A dom(R); B r
2、an(R)。,集合 y y B且x A使得(x, y) R 称为R的值域,并记为ran(R)。,dom(R)A; ran(R)B。,定义域与值域,4/25,例如: A=1,2,B=a,b,c。,映射是特殊的二元关系。,令f:AB,f(1)=a,f(2)=b,则,映射f就对应着AB的子集(1,a),(2,b),关系与映射,问题1:映射与二元关系有什么联系? (前提:映射和二元关系都是从A到B的),5/25,定义1 设A,B是两个集合,一个从AB到是,否的映射R,称为从A到B的一个二元关系,或A与B间的一个二元关系。,(a, b)AB,如果(a, b)在R下的象为“是”,则a与b符合关系R,记为a
3、Rb;,若A=B,则称R为A上的二元关系。,关系与映射,6/25,定义1 一个从A到B的多值部分映射R称为从A到B的一个二元关系。,关系与映射,设A,B是两个集合,一个从A到2B 的映射R称为 从A到B的一个多值部分映射。 如果aA,R(a)= ,则称R在a无定义; 而如果R(a) ,则bR(a),b称 a在R下的一 个象或值 。,7/25,例如:设A=1,2,B=a,b,c,,AB=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)。,AB有6个元素, 从而有26个子集, 因此从A到B就有26个关系。,答案:2mn,问题2:A到B的关系的个数 设|A|=m,|B|=n,则
4、A到B上有多少个二元关系?,关系的个数,8/25,集合(a, a) a A称为A上的恒等关系或相等关 系,并记为IA。,空集也是AB的一个子集。 空集叫做A到B的空关系。,AB是AB的一个子集,按定义AB也是从A 到B的一个二元关系。 AB叫做A到B的全关系。,四个特殊二元关系,设R是A到B的二元关系,集合 (y, x) (x, y) R 称为R的逆关系,简称R的逆,记为R-1。 显然:R-1是B到A的二元关系。,9/25,例1:整除关系,例2:整数集Z上的模n同余关系,设Z为整数集,Z上的整除关系记为。m, n Z, mn 当且仅当 m能除尽n。,设n为任一给定的自然数。对任意两个整数m,
5、k,如果m和k被n除,所得余数相等,则称m与k为模n同余,并记为:m k (mod n),关系实例,例3:设X是一个集合,集合的包含于“”是2X上的二元关系。,10/25,定义3 设A1,A2,.,An是n个集合,一个 A1A2.An的子集R称为A1,A2,.,An间的n元关系。 每个Ai称为R的一个域。,例4: 设 1、A为某单位职工“姓名”的集合; 2、B为“性别”之集合,B=男,女; 3、C为职工年龄集合 C=1,2,.,100; 4、D表示“文化程度”; D=小学,初中,高中,大学,硕士,博士; 5、E是“婚否”集合,E=是,否; 6、F表示月工资,F=0,20000。,二元关系到n元
6、关系的推广,11/25,这其实就是关系型数据库的一个数据表。 n元关系是关系数据模型的核心,而关系数据模型 是关系型数据库的基础。,二元关系到n元关系的推广,12/25,2 关系的性质,定义1 X上的二元关系R称为自反的,如果x X, xRx。,在这个定义中,要求X的每个元素x,都有xRx, 即(x, x) R。,设IX是X上的恒等关系,即:IX=(x, x) x X。,显然:R是自反的,当且仅当IXR。,13/25,例1:IX是X上的自反关系,但IX的任一真子集RIX不是X上的自反关系。,例2:实数集上的“小于或等于”关系“”是不是自反的?小于关系“”是不是自反的?,例3:令X=a,b,c,
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