例测定恢复系数将一种材料制成小球另一种材料制成.ppt
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1、例:测定恢复系数:将一种材料制成小球,另一种材料制成平板,水平放置,使小球从高度 H 处自由落下。设小球反跳的高度为 h,求该材料的恢复系数。,解:小球在碰撞前后的速度分别为: v10 =( 2gH )1/2, v1 = -( 2gh )1/2 . 而平板在碰撞前后的速度 分别为:v20 = 0, v2 = 0 . 两种材料的恢复系数为: e = (v2 - v1 )/( v10 - v20 ) =( 2gh )1/2/( 2gH )1/2 = ( h/H )1/2,例4-1 设质量为 m1的粒子 1以速度 V1与原来静止的粒子 2发生对心的弹性碰撞,粒子2的质量为 m2,碰撞后粒子2的速度为
2、V2。又设粒子 1仍以速度 V1与原来静止的粒子 3发生对心的弹性碰撞,粒子 3的质量为 m3,碰撞后粒子 3的速度为V3。求粒子 1的质量 m1。,解:考虑粒子 1与粒子 2的碰撞 动量守恒: m1V1 + m2 V2 = m1V1 + m2 V2 弹性碰撞 e = 1: V1 - V2 = V2 - V1 由于 V2= 0,可得:V2= 2m1V1/(m1+ m2) 同理可得: V3= 2m1V1/(m1+ m3),V2= 2m1V1/(m1+ m2) V3= 2m1V1/(m1+ m3) 消去 V1,可得粒子 1的质量为: m1 = ( m3V3 - m2V2 )/(V2 - V3 )
3、中子的质量最初就是用这个例题所采用的方法测定的。 1932年英国物理学家查德威克发现:若用中子分别与氢原子 ( 原子量为 1 )的核及氮原子( 原子量为14 )的核碰撞,则氢原子的核获得的速度是氮原子的核获得的速度的7.5倍。由此查德威克求出中子的质量近似等于氢原子核(质子)的质量。,例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。,解:(a)设L为棒AB的长度,S为棒的截面,假定S非常小,dx小段的体积为dv=Sdx,由每一小段到Y轴的距离为 x,并令密度恒定,则得: IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3
4、 SL为棒的体积 SL为棒的质量 故: IA= mL2/ 3,(b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法) 第一种:分段两段,每一段的质量为 m/2 ,长度为L/2,它们绕YC 轴的转动惯量为,第二种:与(a)中相同, 但积分范围是从 -L/2 到 + L/2 ,我们把这 个解留给学生去完成。 第三种: 利用平行轴定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2) 得: IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12,例4-4 半径相同的球,圆柱的圆环,从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度
5、。,解:质心定理: Mg sin - f = Ma (1) 质心转动定律: f R = IC =MK2 (2) 角量与线量关系: a = R (3) 式中K为回转半径。 (1)式 R: MgR sin - f R = MRa (4) (3)式代(2)式: f R = MK2 a / R (5),MgR sin - f R = MRa (4) f R = MK2 a / R (5) (4)式 +(5)式 : MgR sin = MRa + MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 ) 得: a = g sin /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin/(1+K2
6、/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 ), 例 一质量为M长度为L的均质细杆可 绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂 状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和 杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一 起。,试求: 1. 碰撞后系统的 角速度; 2. 碰撞后杆子能 上摆的最大角度。,碰撞过程角动量守恒,得:,上摆过程机械能守恒,得:,非保守内力作正功 ,机械能增加,由角动量守恒,例4-4 半径相同的球,圆柱的圆环,从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解:因为静摩擦力不作功, 所以总能量守恒。 起始B点: 总能量 E = Mgh 在斜面底部:
7、 E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2 式中V为质心平动速度,K为回转半径。,总能量守恒: M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh,换句话说,球体向下滚得最快,其次是圆柱,最慢的是圆环。 重要结果:均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时,其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关,仅取决于物体的形状。,例4-5 物体沿X轴简谐振动,振幅为 0.12m,周期为 2s 。当t = 0时,位移为 0.06 m,且向X 轴正方向运动。求运动表达式,并求以 x = - 0.06m处回到平衡位置所需
8、的最少时间。,解:已知 A = 0.12 m,T = 2 s, = 2/T = ( rad/s ). (1) 初态 t = 0 时, x = 0.06, v 0, 初相 = /3 , 运动表达式为: x = 0.12 cos (-/3 ) (m),(2) 当 x = - 0.06 m时,物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B处,显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。 因为 OB 与 OC 夹角为 =/6,所以最少时间为: t = / = (/6) / = 1/6 秒,、,0,0,0,=,3,1,1,0,1,=,2,1,=,t,1,+,=,1,3,=,2,=,5,6,x,A,3,A
9、,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t = 0时,x,=,A,2,v,t =1时,x,=,0,v,=,d,x,d,t,以及振动方程。,求:, 例 一谐振动的振动曲线如图所示。,x = A cos (,5,6,t,3,),本题,3,2,A,x,A,t =1,t = 0,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,的另一种求法:,b,0,b,x, 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m 的小球,弹簧伸长量为b 。用手将重物上托 使弹簧保持自然长度后放手。 求证:放手后小球作简谐振动,并写出 振动方程。,自然 长度,b,平衡 位置,0,x,x,任意位置时小球所受到的合外力为:,=,k,m,g,b
10、,=,0,0,x = b cos (,g,t + ),b,当,得,t,0,x,b,A,=,=,=,:,v,0,=,b,=,可见小球作谐振动。由,得:,mg - kb = 0,F = mg - k ( b + x ) = - kx,例4-7 在一轻弹簧下端悬挂 mo = 100 g 砝码时,弹簧伸长 8 cm,现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体,构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上 21cm/s 的初速度(这时 t =0)。选 x 轴向下,求振动方程的表达式。,解:k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.
11、5/0.25)1/2 =7 rad/s 初始条件:t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 = 0.05 m tg = - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad 振动方程: x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m,例4-6 单摆 Simple Pendulum:单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点O 的系统。,解:由于拉力 T v , T 不作功,故质点在摆动过程中机械能守恒。 设在平
12、衡位置C点的势能为零,则质点在A点的机械能为: EM = mv2/2 + mgl (1-cos),因为= l d/dt 代入上式整理得: EM = ml 2(d/dt)2 /2 + mgl (1-cos) = 恒量 对上式两边对时间求导整理可得: d2/dt2 + g sin /l = 0 在一般情况下,单摆的摆动不正好是简谐振动。但是,如果摆动的角度 很小时, sin (在 10内),这样上式可改为: d2/dt2 + g /l = 0 表明在小角度的范围内,单摆的角位移作简谐振动。 圆频率: 周期:,例4-8 复摆 Physical Pendulum:复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡
13、的任意刚体。ZZ水平轴,C为物体质心,质量为 mg。,解:转动定理 MZ = I MZ = - mgb sin = d2 /dt2 I d2 /dt2 = -mgb sin 假定振动是小振幅的, sin ,利用 I = mK2, 式中K为摆的回转半径,得: d2 /dt2 + gb /K2 = 0 表明在 小范围内,角运动是简谐振动 2 = gb/K2,2 = gb/K2 因此,振动的周期为,其中 l = K2/ b叫做等效单摆长度 Length of the equivalent simple pendulum,因为具有这个长度的单摆,其周期与复摆的相同。 可以看出,复摆的周期与其质量无关,
14、也与其几何形状无关,只要 K2/ b保持相同。,习题4-17 两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为 20 cm,与第一个简谐振动的相位差为 - = /6,若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm,试求: 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2,解:已知 A = 20 cm A1 = 17.3 cm A2 =A2 +A12 -2AA1cos( - )1/2 = 10 cm,A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) cos (1 - 2 ) = A2 - A12 + A22 / 2A1A2 = 0 2 1 = /2 1 2
15、 = /2,例4-9 试用等效弹性常数重新计算例4-6单摆的周期,解:单摆的势能: EP = mgl (1 - cos),其极小值位置=0,单摆离开平衡点的水平位移x =l sin,因此 :,单摆的 圆频率:,周期:,例: 两球有相同的质量和半径,悬挂于同一高度,静止时两球恰好能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为 e ,若球 A 自高度 h1 释放,求该球碰撞后能达到的高度。,mvA0 = mvA + mvB vA - vB = - e vA0,vA = ( 1 - e ) vA0 / 2 0 vB = ( 1 + e ) vA0 / 2 vA,mghA = m vA2 / 2 mghB
16、 = m vB2 / 2,hA = vA2 / 2g hB = vB2 / 2g,hA = ( 1 - e )2 h1 / 4 hB = ( 1 + e )2 h1 / 4,解:A球与 B球碰撞前一刻的速度为 vA0=(2gh1)1/2 ,碰撞后两者的速度分别为 vA ,vB 。,hB hA,A-1 一质点作简谐振动,周期为 T,质点由平衡位置向X轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为: (A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8,A-1 一质点作简谐振动,周期为 T,质点由平衡位置向X轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为:
17、(A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8 解: = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,A-1 一质点作简谐振动,周期为 T,质点由平衡位置向X轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为: (A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8 解: = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,to,A-1 一质点作简谐振动,周期为 T,质点由平衡位置向X轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为: (A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8 解: = t t = / ,X,O,=T/2 ,A,to,to+ t
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