绝对收敛与条件收敛.ppt
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1、绝对收敛与条件收敛,一、 交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数,它的一般形式为,或,其中,un0 (n=1, 2, ),定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数,满足条件,(1),(2) unun+1 (n=1, 2, ),则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.,(级数收敛的必要条件),证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.,1) 取交错级前2m项之和,由条件(2): unun+1,un0, 得S2m以及,由极限存在准则:,2) 取交错级数的前2m+1项之和,由条件1):,综上所述,有,例1. 讨论级数,的敛散性.,解:这是一个交错级数,,又,由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.,
2、例2. 判别级数,的敛散性.,解:这是一个交错级数,,又,令,x2, +),则,x2, +),,故 f (x) 2, +),即有unun+1成立,由莱布尼兹判别法,该级数收敛.,解,原级数收敛.,二、 任意项级数及其敛散性,(1) 级数的绝对收敛和条件收敛,定义:若级数,对收敛的;若级数,但级数,定理:若,(即绝对收敛的级数必定收敛),证: un |un|,从而,上定理的作用:,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数,若,(1) 1时, 级数绝对收敛;,(2) 1 (包括= )时,级数发散;,(3) =1时,不能由此断定级数的敛散性.,例5.
3、判别级数,的敛散性.,解:,由P一级数的敛散性,,即原级数绝对收敛.,例6. 判别,的敛散性,其中,x1为常数.,解:记,当|x|1时,=|x|1, 原级数绝对收敛.,当|x|1时,=1, 此时不能判断其敛散性.,由达朗贝尔判别法:,但|x|1时,,从而,原级数发散.,例6. 级数,是否绝对收敛?,解:,由调和级数的发散性可知,,故,发散.,但原级数是一个收敛的交错级数:,故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.,(2) 绝对收敛级数的性质,性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变.,性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积.,小结,1、交错级数 (莱布尼茨定理),2、绝对收敛与条件收敛,作业:P127:2(1)-(8),
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