六编数列.ppt
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1、第六编 数 列,6.1 数列的概念与简单表示法,要点梳理 1.数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列,数列中 的每一个数叫做这个数列的项.,一定顺序,基础知识 自主学习,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的表示法: 数列有三种表示法,它们分别是 、 和 . 4.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与 之间的关系可 以用一个公式 来表示,那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.,列表法,图象法,解析法,序号n,an=f(n),S1,Sn-Sn-1,an-1,an+1,an-1,an+1,基础自测 1.下列对数列的理解有四种: 数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集 1,2,3,n)上的
2、函数; 数列的项数是有限的; 数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立 的点; 数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析 由数列与函数的关系知对,由数 列的分类知不对,数列的通项公式不是惟一 的,不对.,C,2.数列1, ,的一个通项公式an是( ) A. B. C. D. 解析 1可以写成 ,分母为3,5,7,9, 即2n+1,分子可以看为13,24,35,46,故 为n(n+2),即 . 此题也可用排除法求解,只需验证当n=1时,A 选项为 ,B选项为 ,C选项为 ,均不为1,故 排除A、B、C,从而选D.,D,3.在数列an中,a1=1,a2=
3、5,an+2=an+1-an (nN*), 则a100等于 ( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4, 1,5,4,. 由此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1, 两式相加可得an+3=-an,an+6=an, a100=a166+4=a4=-1.,B,4.若数列an的前n项和Sn=n2-1, 则a4等于 ( ) A.7 B.8 C.9 D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-(32-1)=7.,A,5.数列an中, ,Sn=9
4、,则n= . 解析,99,题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一 个通项公式: (1)-1,7,-13,19, (2)0.8,0.88,0.888, (3) (4) (5)0,1,0,1,,题型分类 深度剖析,思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项 公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之 间的关系. 解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表 示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝 对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an= (-1)n(6n-5). (2)将数列变形为,(3)各项的分母分别为21,22,23,24
5、,易看出第2,3, 4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 , 原数列可化为 (4)将数列统一为 对于分子3,5, 7,9,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式 为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,联想到数 列1,4,9,16,即数列n2,可得分母的通项 公式为cn=n2+1 因此可得它的一个通项公式为,(1)由数列的前几项求它的一个通项 公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还 原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式 来求. (2)由数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法,得出的结果是不可靠的,要注意代 值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n
6、+1 来调整.,探究提高,知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,(2) (3) (4)3,33,333,3 333, 解(1)因为各项是从4开始的偶数, 所以an=2n+2. (2)由于每一项分子比分母少1,而分母可写为 21,22,23,24,25,故所求数列的一个通 项公式可写为 .,(3)由于带有正负号,故数列可以用(-1)n+1来 调整,而后去掉负号,观察可得. 将第二项-1写成 . 分母可化为3,5,7,9,11,13,为正奇数,而分子 可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,故其一 个通项公式可写为 (4)将数列各项改写为 ,
7、分 母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1, 104-1,, 所以,题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件,确定数列an的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1=(n+1)an; (3)a1=2,an+1=an+ (1)构造等比数列;(2)转化后 利用累乘法求解;(3)转化后利用累加法求解. 解 (1)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1), 数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2, an+1=23n-1,an=23n-1-1.,思维启迪,探究提高 已知数列的递推关系,求数列的通项 时,通常用累加、
8、累乘、构造法求解. 当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n) 时,用累加法求解;当出现 时,用累乘 法求解.,知能迁移2 根据下列各个数列an的首项和基本 关系式,求其通项公式. (1)a1=1,an=an-1+3n-1 (n2); (2)a1=1,an= an-1 (n2). 解 (1)an=an-1+3n-1 (n2), an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, a2=a1+31. 以上(n-1)个式子相加得 an=a1+31+32+3n-1 =1+3+32+3n-1= .,题型三 由Sn与
9、an的关系求通项an 【例3】(12分)已知数列an的前n项和Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an. 由已知条件可将an=Sn-Sn-1(n2)代 入等式,得关于Sn与Sn-1的一个等式,经变形推 得数列 具有等差数列的特征,进而求得Sn, 再得an.,思维启迪,解 当n2, nN*时,an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1 +2SnSn-1=0,,数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ,此公式经常使用,应引起 足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别,但已知Sn 求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合 n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1
10、,否则分段表示.,探究提高,知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an 的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b. 解 (1)a1=S1=2-3=-1, 当n2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5, 由于a1也适合此等式,an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 当b=-1时,a1适合此等式; 当b-1时,a1不适合此等式. 当b=-1时,an=23n-1; 当b-1时,,题型四 数列的性质 【例4】已知数列的通项公式为 . (1)0.9
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