六重积分的应用.ppt
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1、六、重积分的应用,第二十一章 重积分,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积,例1 计算由曲面,及 xoy 面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上 的体积为 V1。,由立体的对称性,所求立 体体积 V = 4V1 。,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体,它的曲 顶为,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体,它的曲 顶为,它的底为,于是,,所求立体的体积,例2 求两个圆柱面,所围,的立体
2、在第一卦限部分的体积。,解,所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体, 它的曲顶为,它的底为,它的底为,它的曲顶为,于是,立体体积为,例3 求球体,被圆柱面,所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。,解,显然,所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。,而且,四个卦限部分的体积 是对称相等的。,因此,若设第一卦限部分的体 积为 V1 ,则所求立体的体积为,V1 可以看成是一个曲顶柱体, 它的曲顶为,它的底D 由半圆周,及 x 轴围成。,用极坐标系表示,于是,,所求立体体积,二、曲面的面积,设曲面的方程为:,如图,,- 曲面 S 的面积元素,曲面面积公式为:,设曲面的方程为:,曲面面积公式为:,设曲面的方程为:,曲面面积公式为:,同理可得,解,设第一卦限部分的面积为 A1 , 则由对称性,所求的面积为,极坐标系下表示:,例5 求两个圆柱面,所围,的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。,解,所求表面分成和,如图。,第一块( )在圆柱面,第一块( )在圆柱面,由对称性,这两块曲面的面积相等,即A=A。,因此,A = 2 A。,在 A上,曲面方程为,A,在 A上,曲面方程为,因此,A = 2 A。,A,A,A,于是所求面积,A = 2 A,几何应用:立体的体积、曲面的面积,物理应用:重心、对质点的引力 (略),(注意审题,熟悉相关物理知识),三、小结,
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