可分离变量微分方程ppt课件.ppt
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1、,转化,可分离变量微分方程,第二节,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微 G(y) g(y)0,时,由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两
2、边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,建模: 相关变量, 有:,(初始条件),已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,问题, 求:,条件:,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规
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