电路教案第3章.ppt
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1、3.5 一阶电路的三要素法 一、三要素法公式 二、三要素公式说明 三、三要素的计算 四、举例 3.6 一阶电路的阶跃响应 一、阶跃函数 二、阶跃响应 3.7 二阶电路分析 一、RLC串联电路的方程 二、RLC串联电路的零输入响应 三、RLC串联电路的阶跃响应 3.8 正弦激励下一阶电路的响应,3.1 动态元件 一、电容 二、电感 三、电容电感的串联与并联 3.2 动态电路方程及其解 一、电路方程 二、微分方程的经典解 3.3 电路的初始值 一、换路定律 二、初始值的求解 3.4 电路的响应 一、零输入响应 二、零状态响应 三、全响应,第三章 动态电路,点击目录 ,进入相关章节,下一页,前一页,
2、第 3-1 页,退出本章,目录,第三章 动态电路,许多实际电路,除了电源和电阻外,还常包含电容和电感元件。这类元件的VCR是微分或积分关系,故称其为动态元件。含有动态元件的电路称为动态电路,描述动态电路的方程是微分方程。,3.1 动态元件,一、电容,电容元件(capacitor)是一种储存电能的元件, 它是实际电容器的理想化模型。其电路符号如图(a)所示。,下一页,前一页,第 3-2 页,返回本章目录,电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。,1、电容的一般定义,一个二端元件,若在任一时刻t,其电荷q(t)与电压u(t)之间的关系能用qu平面上的曲线表征,即具有代数关系 f (u,q )
3、 = 0 则称该元件为电容元件,简称电容。,3.1 动态元件,电容也分:时变和时不变的,线性的和非线性的。 线性时不变电容的外特性(库伏特性)是qu平面上一条过原点的直线,且其斜率C不随时间变化,如图(a)所示。其表达式可写为:,一、电容,q(t) = Cu(t),其中C就是电容元件的值,单位为:法拉(F)。对于线性时不变电容,C为正实常数。,2、电容的VAR(或VCR),当电容两端的电压变化时,聚集在电容上的电荷也相应发生变化,这表明连接电容的导线上就有电荷移动,即有电流流过;若电容上电压不变化,电荷也不变化,即电流为零。这与电阻不同。,若电容上电压与电流参考方向关联,如图(b),考虑到 i
4、 =dq/dt, q = C u(t),有,称电容VAR的微分形式,下一页,前一页,第 3-3 页,返回本章目录,3.1 动态元件,对电容伏安关系的微分形式从-到t进行积分,并设u(-)=0,可得,一、电容,称电容VAR的积分形式,设t=t0为初始观察时刻,上式可改写为,称为电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态 (initial state),它包含了在t0以前电流的“全部历史”信息。 一般取t0 =0 。,式中,下一页,前一页,第 3-4 页,若电容电压、电流的参考方向非关联,如右图所示。电容VAR表达式可改为,u与i非关联,返回本章目录,3.1 动态元件,当
5、电容电压和电流为关联方向时,电容吸收的瞬时功率为:,一、电容,3、电容的功率与储能,电容是储能元件,它不消耗能量。当 p(t)0时,说明电容是在吸收能量,处于充电状态;当 p(t) 0时,说明电容是在释放能量,处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电容不能产生能量,因此为无源元件。 对上式从-到 t 进行积分,即得t 时刻电容上的储能为:,式中 u(-) 表示电容未充电时刻的电压值,应有u(-) =0。于是,电容在时刻 t 的储能可简化为:,可见:电容在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电压,而与电流无关,且储能 0。,下一页,前一页,第 3-5 页,返回本章目录,4、举例,下一页
6、,前一页,第 3-6 页,返回本章目录,3.1 动态元件,一、电容,例1 如图(a)电路,电源电压uS(t)如图(b);试求电容上电流i(t)、瞬时功率p(t)及在t时刻的储能wC(t)。,解: 写出uS(t)的表达式为,根据电容VAR得,吸收能量,释放能量,例2 某电容C=2F,其电流i波形如图所示。 若u(0)=0,求电容电压u(t),t0 计算t=2s时电容的储能w(2)。,下一页,前一页,第 3-7 页,返回本章目录,3.1 动态元件,一、电容,解: 电容电流的表达式为:,根据电容VAR得,3.1 动态元件,5、主要结论,一、电容,下一页,前一页,第 3-8 页,返回本章目录,(1)电
7、容的伏安关系是微积分关系,因此电容元件是动态元件。而电阻元件的伏安关系是代数关系,电阻是一个即时(瞬时)元件。 (2)由电容VAR的微分形式可知:任意时刻,通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流 i为有限值时,其du/dt也为有限值,则电压u必定是连续函数,此时电容电压是不会跃变的。当电容电压为直流电压时,则电流 i = 0,此时电容相当于开路,故电容有隔直流的作用。 (3)由电容VAR的积分形式可知:在任意时刻t,电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果,它“记载”了以前电流的“全部历史”。即电容电压具有“记忆”电流的作用,故电容是一个记忆元件,而电阻是无记忆元件。 (4)电容是
8、一个储能元件,它从外部电路吸收的能量,以电场能量的形式储存于自身的电场中。电容C在某一时刻的储能只与该时刻t电容电压有关。,下一页,前一页,第 3-9 页,返回本章目录,二、电感,3.1 动态元件,电感元件(inductor)是一种储存磁能的元件。它是实际电感线圈的理想化模型,其电路符号如图(a)所示。,将导线绕在骨架上就构成一个实际电感线圈(也称电感器),如图(b)。当电流i(t)通过线圈时,将产生磁通(t),其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链(t)。若线圈密绕,且有N匝,则磁链(t)=N (t)。,电感上磁链与电流的关系最能反映这种元件的储能。,1、电感的一般定义,一个二端元件
9、,若在任一时刻t,其磁链(t)与电流i(t)之间的关系能用 i平面上的曲线表征,即具有代数关系 f ( , i ) = 0 则称该元件为电感元件,简称电感。,下一页,前一页,第 3-10 页,返回本章目录,3.1 动态元件,二、电感,线性时不变电感的外特性(韦安特性)是i平面上一条过原点的直线,且其斜率L不随时间变化,如图(a)所示。其表达式可写为:,(t) = L i(t),其中L就是电感元件的值,单位为:亨利(H)。磁链的单位:韦伯(Wb)。对于线性时不变电感,L为正实常数。,2、电感的VAR(或VCR),电感中,当电流变化时,磁链也发生变化,从而产生感应电压。在电流与电压参考方向关联时,
10、若电压参考方向与磁通的方向符合右手法则,根据法拉第电磁感应定律,感应电压u(t)与磁链的变化率成正比,即:,对线性电感,由于(t) = L i(t),故有,称电感VAR的微分形式,电感也分:时变和时不变的,线性的和非线性的。,下一页,前一页,第 3-11 页,返回本章目录,3.1 动态元件,二、电感,称电感VAR的积分形式,设t=t0为初始观察时刻,上式可改写为,称为电感电流在t0时刻的初始值,或初始状态,它包含了在t0以前电压的“全部历史”信息。一般取t0 =0 。,式中,若电感电压、电流的参考方向非关联,如右图所示。电感VAR表达式可改为,u与i非关联,对电感伏安关系的微分形式从-到t进行
11、积分,并设i(-)=0,可得,3、电感的功率与储能,下一页,前一页,第 3-12 页,返回本章目录,3.1 动态元件,二、电感,当电感电压和电流为关联方向时,电感吸收的瞬时功率为:,电感是储能元件,它不消耗能量。当 p(t)0时,说明电感是在吸收能量,处于充磁状态;当 p(t) 0时,说明电感是在释放能量,处于放磁状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量,因此为无源元件。 对上式从-到 t 进行积分,即得t 时刻电感上的储能为:,式中i(-) 表示电感未充磁时刻的电流值,应有i(-) =0。于是,电感在时刻 t 的储能可简化为:,可见:电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的
12、电流,而与电压无关,且储能 0。,4、举例,下一页,前一页,第 3-13 页,返回本章目录,3.1 动态元件,二、电感,例1 如图(a)电路,已知电感电压u (t),L=0.5H,i(0)=0;试求电感上电流i(t) 及在t=1s时的储能wL(1)。,解: 写出u (t)的表达式为,当0t0.5s时,,当t0.5s时,,5、主要结论,下一页,前一页,第 3-14 页,返回本章目录,3.1 动态元件,二、电感,(1)电感元件是动态元件。 (2)由电感VAR的微分形式可知:任意时刻,通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压 u为有限值时,其di/dt也为有限值,则电流i必定是连续函数,
13、此时电感电流是不会跃变的。当电感电流为直流电流时,则电压 u = 0,即电感对直流相当于短路。 (3)由电感VAR的积分形式可知:在任意时刻t,电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果,它“记载”了以前电压的“全部历史”。即电感电流具有“记忆”电压的作用,故电感也是一个记忆元件。 (4)电感是一个储能元件,它从外部电路吸收的能量,以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的储能只与该时刻t电感电流有关。,1、电容串联:,下一页,前一页,第 3-15 页,返回本章目录,三、 电容电感的串联和并联,3.1 动态元件,电容串联电流相同,根据电容VAR积分形式,由KVL,有 u = u1 +
14、u2 +un,分压公式,特例:两个电容串联,,下一页,前一页,第 3-16 页,返回本章目录,三、 电容电感的串联和并联,3.1 动态元件,2、电容并联:,电容并联电压u相同,根据电容VAR微分形式,由KCL,有 i = i1 + i2 +in, Ceq = C1 + C2 +Cn,分流公式,3、电感串联:,下一页,前一页,第 3-17 页,返回本章目录,三、 电容电感的串联和并联,3.1 动态元件,电感串联电流相同,根据电感VAR微分形式,由KVL,有 u = u1 + u2 +un, Leq = L1 + L2 +Ln,分压公式,4、电感并联:,下一页,前一页,第 3-18 页,返回本章目
15、录,三、 电容电感的串联和并联,3.1 动态元件,电感并联电压u相同,根据电容VAR积分形式,由KCL,有 i = i1 + i2 +in,分流公式,特例:两个电感并联,,5、电容电感串并联两点说明,(1)电感的串并联与电阻串并联形式相同,而电容的串并联与电导形式相同。 (2)电感与电容也可以利用-Y等效,但注意:对电容用1/C代入。,下一页,前一页,第 3-19 页,返回本章目录,三、 电容电感的串联和并联,3.1 动态元件,?,1971年加州大学伯克利分校华裔科学家基于结构完整性的推测,存在第四基本元件: memristor忆阻器 -memory resistor 并用有源器件实现了具有忆
16、阻电气特性的电路。但始终没有找到无源的忆阻器。,石破天惊的消息来自2008年5月1日的Nature杂志,HP Lab的4位科学家R. Fano等“The missing memristor found” 453:8083,2008 理论物理,实验物理,物理化学,计算机结构,可在nm(纳米)尺寸上实现开关,进而极大地缩小存储器的体积,这对计算机的发展和研制具有人类智能的模拟计算机开辟可能的新方向。,第三章 动态电路,3.2 动态电路的方程及其解,下一页,前一页,第 3-21 页,返回本章目录,一、动态电路方程列写,1、依据:元件VAR,KCL和KVL列写方程;,2、一阶电路举例:,由于动态电路中
17、的电感电容的VAR是微积分关系,可以预料,动态电路列出的方程一定是微积分方程。若描述电路的方程是一阶微分方程,相应的电路称为一阶电路(first order circuit)。,例1:图RC电路,t=0时开关S闭合,讨论t0时的电容电压uC(t)。,t0时,根据KVL方程列出回路电压方程为,uR + uC uS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,令=RC,其单位是秒。因为RC=V/AC/V=C/A= s 故称为时间常数,简称时常数。,例2:图RL电路,t=0时开关S闭合,讨论t0时的电感电流iL(t)。,下一页,前一页,第 3-22 页,返回本章目录,一、动态电路方程列写,3.2
18、 动态电路的方程及其解,t0时,根据KCL有,iR + iL iS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,观察上两例列出的方程,除变量不同外,均为典型的一阶微分方程,因此均为一阶电路。一阶微分方程的一般形式可写为,y(t) + ay(t) = bf (t), 式中y(t)为响应,f (t)为激励。,令=L/R,其单位是秒。因为L/R=Wb/A/V/A=Wb/V=s,故称为时间常数,简称时常数。,3、二阶电路举例:,下一页,前一页,第 3-23 页,返回本章目录,一、动态电路方程列写,3.2 动态电路的方程及其解,例:图RLC串联电路,仍以电容电压uC(t)作为电路的响应。,根据KVL
19、方程有,uR + uL + uC uS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,这是二阶微分方程,因此称该电路为二阶电路。二阶微分方程的一般形式可写为,y”(t) + a1y(t) + a0y(t) = b0f (t),4、建立动态方程的一般步骤,下一页,前一页,第 3-24 页,返回本章目录,一、动态电路方程列写,3.2 动态电路的方程及其解,、根据电路建立KCL或KVL方程,写出个元件的伏安关系; 、在以上方程中消去中间变量,得到所需变量的微分方程。 对于较复杂的动态电路,常用拉普拉斯变换进行分析。,1、微分方程的经典解法,下一页,前一页,第 3-25 页,返回本章目录,二、微分方
20、程的解,3.2 动态电路的方程及其解,一阶和二阶微分方程一般形式为,y(t) + ay(t) = bf (t) (1) , y”(t) + a1y(t) + a0y(t) = b0f (t) (2),对于线性时不变动态电路,上式中的系数都是常数。,高等数学学过,线性常系数微分方程的解由两部分组成: y(t) = yh(t) + yp(t) 即:完全解 =齐次解(通解)+ 特解,齐次解yh(t) :它的函数形式取决于微分方程的特征根。,对于一阶微分方程,其特征方程为 s + a = 0,特征根为s = -a,故,yh(t) = K est = K e-a t,式中K为待定常数。,对于二阶微分方程
21、,其特征方程为 s2 + a1s + a0 = 0,特征根为s1 和s2 , 当s1 s2 时, yh(t) = K1 es1t + K2 es2t 当s1 = s2 = s时, yh(t) = (K1 + K2 t)est 式中待定常数K1、 K2将在完全解中由初始条件确定。,特解yh(t) :特解具有与激励f(t)相同的函数形式。列表如下:(P99表3-2),下一页,前一页,第 3-26 页,返回本章目录,二、微分方程的解,3.2 动态电路的方程及其解,当特解yp(t)的函数形式确定后,将其代入原微分方程中,来求待定常数Ai,2、举例,下一页,前一页,第 3-27 页,返回本章目录,二、微
22、分方程的解,3.2 动态电路的方程及其解,如图RC电路,Us为直流电压源,当t = 0时开关闭合,电容的初始电压uC(0) = U0,求t0时的uC(t)。,解(1)建立电路方程。前面已得,(2)求齐次解uCh(t)。特征方程为 s + 1/(RC) = 0 其特征根 s = - 1/(RC),故,(3)求特解uCp(t)。激励Us为常数,特解也是常数。 令 uCp(t) = A,将它代入上面微分方程,得,故得特解 uCp(t) = A = Us,(4)求完全解uC (t)。,uC (t) = uCh(t) + uCp(t) =,式中常数K由初试条件uC(0) = U0确定。将该条件代入上式,
23、得,uC(0) = K + Us = U0 ,解得 K = U0 - Us ,故,3、结果分析:固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应,下一页,前一页,第 3-28 页,返回本章目录,二、微分方程的解,3.2 动态电路的方程及其解,在完全解中,其第一项(即齐次解)的函数形式仅由特征根确定,而与激励的函数形式无关,称为固有响应或自由响应。,固有响应,式中第二项(即特解)与激励具有相同的函数形式,称为强迫响应。,强迫响应,按电路的工作情况,也常将完全响应分为暂态响应和稳态响应。上式中第一项按指数规律衰减,t时,该项为0,称为暂态响应。第二项在任意时刻都保持稳定,称为稳态响应。,一、换路定律,下一页
24、,前一页,第 3-29 页,返回本章目录,3.3 电路的初始值,前面可以看到,求解微分方程时,需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数K。由于电路的响应是指电压和电流,故相应的初始条件为电压或电流的初始值,即在t = t0时刻的值u(t0)、i(t0)。,其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0) 、 iL(t0)由电路的初始储能决定,称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初始值称为非独立初始值,它们将由电路激励和初始状态来确定。,1、换路现象,* 开关的闭或开动作; * 元件参数突变; * 电源数值突变;,统称为“换路”,电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t = t0
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