廿一世纪的数学展望Mathematicsinthe2Century.ppt
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1、廿一世紀的數學展望 Mathematics in the 21 Century,丘成桐 哈佛大學 1/9, 2006 於台灣中央大學,在新世紀開始,全世界科學家對這個新時代的來臨,有着無比的興奮,期待着人類有史以來最新的發現。數學是所有推理學問的基礎,我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展的一些綫索。 由希臘數學家發展歐式幾何的公理系統開始,人類對嚴謹的三段論証方法才有實體的認識,影響所及,凡是需要推理的學問都與數學有關,推理的學問可分物理科學,工程科學和社會科學。,社會科學,經濟 金融 保險 估值,病歷調查生物統計調查,都市規劃人口流動人口調查民意調查,文獻整理歷史研究,訊息科學網絡科學,物
2、理科學,數學和工程科學乃是社會科學的基礎 理論物理乃是工程科學的基礎 數學乃是理論物理的基礎,人類科技愈進步愈有能力去發現新的現 象。種種繁複的現象使我們更加迷惘,而亦 因此而更加興奮。 (例如:湍流問題、黑洞問題) 但是主宰所有現象變化的只是幾個小數 的基本定律。在高能物理裏有所謂 Standard model (標準模型),這個理論統一而 解釋了三個基本場:電磁場、弱力、強力。 但是重力場和這三個力場還未得到統一,主要 是因為與量子力學未能融合。,重力場由廣義相對論描述,是狹義相對論和 牛頓力學統一後而形成的理論。 這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。 愛因斯坦方程是 其中 gij 是測度
3、張量(引力場) Tij 是物質張量 Rij 是Ricci曲率張量,弦理論企圖統一重力場和其他所有力場。這是一個 宏大的搆想。 在廿一世紀,我相信基本數學會遇到同樣的挑戰: 基本數學也將會來個大統一,也只有在數學各門分 支大統一後,這些分支才會放出燦爛的火花。因為 只有經過統一後,這些學問才會得到本質上的瞭 解。,數學的大統一將會比物理的大統一來得基 本,也很可能由物理學的統一場論孕育而 出。近代弦論的發展已經成功的將 微分幾何 代數幾何 群表示理論 數論 拓樸學 相當重要的部份統一起來。而這二十年來數 學已經由弦論得到豐富的果實。,大自然提供了最為重要的數學模型,以 上很多模型都是從物理直覺或
4、從實驗觀察出 來的,但是數學家卻可以用自己的想像,在 觀察的基礎上創造出新的結構。 成功的數學結構往往是幾代數學家的共 同努力得出的成果,也往往是數學中幾個不 同分支合併出來的火花。,幾何和數字(尤其是整數)可說是數學裏最 直觀的對象,因此在數學的大統一中會起着最 要緊的作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法 已經將整數方程的一部份與幾何結合,群表 示理論是數論和幾何學結合的一個橋樑。 每次數學分支的結合都有結構性的變化, 例如算術幾何的產生,將數論和幾何都帶入新 的境界,解決了一系列的古典問題。,在過去廿年,拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究不能缺乏幾 何的工具。 Thur
5、ston 的猜測和 Hamilton 的工作是 在三維空間上引進幾何結構,這些創作新結 構的理論具有劃時代的重要性,正等如十九 世紀的數學家創造 Riemann surface 概念一的 重要。,分析和幾何已經逐漸融合,這三十年來,微分 方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出的貢獻。通過 分析方法,陳氏類,Hodge 理論,Atiyah-Singer 指 標定理和我在複流形上搆造的 Kahler-Einstein 度 量,在代數幾何中解決了很多極為重要的問題。 最近 Hamilton 的 Ricci Flow 通過 Perelman 工 作可能解決了 Thurston 的猜想,這些都是數學上百 年來
6、的大事。,在四維空間上,Donaldson 利用 Taubes, Uhlenbeck 在規範場上的存在性定理得到四維 拓撲的突破。 上述工作和 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 在複幾何中規範場的工作都與代數幾何和弦理論 息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息,使 得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理 論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深 入的暸解。,在二十一世纪的數學裡,三维的双曲空間和四維的代數曲面理論會變得如黎曼曲面一樣重要,數學會進入一個盡情享受低维空間特殊性质的局面,代數幾何裏的二维、三维和四维流形會有更徹底的理解。 我們希望 Hodge 猜测會得到圆
7、满的解决,從而得知一個拓樸子流型什麼時候可以由代數子流形來表示。同樣的問题也適用於 Vector bundle 上。由弦理論得到的啟示,有些特殊的子流形或可代替代數流形。,現在舉一個理論物理,數學和應用科學 上的共同而重要的問題:基本物理上的 Hierachy 問題,是一個 Scale 的問題。 引力場和其他力場的 Scale 相差極遠, 如何統一,如何解釋? 在古典物理,微分方程,微分幾何和各 類分析中亦有不同 Scale 如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中,用到所謂 renormalization group 的方法,是非穩定 系統的一個重要工具。,如何用基本數學發展出來的方法去處理
8、 不同 Scale 是應用數學中一個重要問題。而事 實上,純數學本身亦有不同度量的問題。 在微分方程,或微分幾何遇到奇異點或 在研究漸近分析時,Blowing up 分析是一個 很重要的工具,而這種 Blowing up 的工具亦 是代數幾何中最有效的工具。,在非綫性微分方程中,我們需要更進一步的做定 性和定量的分析來研究由 Blowing up 得出来的結 果,因此對不同 scale 的量得到進一步的認識。 微分幾何的張量分析 (曲率張量) 在multiscale 分析中應該會有重要的應用,因為即使在同一點上, 物理現象會有不同方向的變化,而此種變化亦應當受 到 scale 的影響,而張量是
9、研究它們的主要工具。 當一個圖 (graph) 逼近一個幾何圖形或微分方程 的解時,multiscale 分析極為重要,如何使圖本身有 一個自然的 scaling 的結搆無論在純數學和應用數學 都是重要的問題,我希望研究離散數學的學者亦注意 到這一點。,近代弦論發現有不同的量子場論可以互相 同構 (isomorphic) 然而scale 剛好相反 因此找到一些強 Coupling Constant 的理 論可以同另一些弱 Coupling Constant 的 理論同構。,由於R 這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構,使得我們可以用擾動性(perturbation analysis)的方法去計
10、算非擾動的場論,在數學上得到驚人的結果。 更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象,雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。,約在兩百年前,Gauss 發現 Gauss 曲率的觀念而創造內蘊幾何時,就感歎到空間的觀念與時而變,和人類對大自然的瞭解有密切的關係。 這二十年來,超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展,在實驗上雖然尚未發現超對稱,但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力,我們寧可相信在極高的能量時,超對稱
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