例1变速直线运动速度.ppt
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1、例1. 变速直线运动的速度,物体作匀速直线运动时, 有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度,平均速度记作V.,由于匀速运动物,体的速度是不变的,因此,41 导数的概念,一、导数概念的引入,由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的,因此,用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?,设一物体作变速直线运动,在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0),如图,设物体在 t0 时,所走路程为 S(t0),在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t),从而,物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为,S =,S
2、(t0+t) S (t0),物体在 t0, t0+t 这段时间内的平均速度为,t越小,近似值,就越接近精确值V(t0).,当t无限变小时,近似值,就会无限接近,也就是,精确值V(t0).,例2. 曲线的切线斜率,圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”,但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点,以哪条直线作为切线呢?如图,又如,y = x3, 如图,又比如,y=sinx, 如图,切线的一般定义:如图,设有曲线C及C上一点M,在M点外任取C上一点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN趋向于它的极限位置MT,则称直线MT为
3、曲线C在点M处的切线.,T,M,N,C,N,下面讨论曲线C:y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题.,设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为.,如图,T,y=f (x),M,x,x0,x0+x,N,C,y0+y,y0,P,割线 MN 的斜率,当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN MT.,从而. 因此, tgtg.,P,所以切线MT的斜率:,P,定义:设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果当x0时,,的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数,记作f (x0), 即,二、导数的定义,存在,则称,f
4、 (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则,称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别,注1. 若,若记x=x0+x, 当x0时, x x0,特别,取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有,注2.导数定义还有其他等价形式,注3.对于例1, 有,对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率,注4.由于,称为,f (x)在x0的右导数.,称为,f (x)在x0的左导数.,有, f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.,注5.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导,则称 f
5、(x)在(a, b)内可导.,此时,x(a, b)都有唯一确定的值f (x)与之对应,所以导数是x的函数.,称为y=f (x)的导函数,按定义,,f (x)就是x所对应的导数值,这个式子就是导函数的表达式.,而f (x0)就是f (x)在x= x0处的函数值,即,另外,求,注6.,用定义求导数一般可分三步进行.,设y = f (x)在点x处可导,(1) 求y=f (x+x) f (x),(2) 求比值,(3) 求极限,三、求导举例,例3. 求 y = C (常数)的导数.,解:(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0,(2),(3),故(C ) = 0, 即常数的导数为0
6、.,例4. 设 y = f (x) = xn. n为正整数,求f (x).,解:(1) y = f (x+x) f (x),= (x+x)n xn,(2),(3),即 (xn)= nx n1,比如,(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般,对幂函数y=x, 为实数,有 (x) = x1,比如,例5. 求y = sinx的导数.,解:(1) y = sin (x+x) sinx,(2),(3),即 (sinx) = cosx,类似 (cosx) = sinx,例6. 求y = ax的导数,其中a0, a1.,解:,从而,即 (ax) = axlna,特别,取a = e, 则 (ex)=
7、 ex,例7. 求y=logax 的导数,其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.,解:,即,特别,取a = e, 则,从而,由例2知, 函数y=f (x)在x0处的导数 f (x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率,即 k = f (x0).,法线方程为,一般, 若f (x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为,四、导数的几何意义,特别,(i)当f (x0)=0时,即k = 0.,从而切线平行于,x轴. 因此,法线垂直于x轴.,如图,切线方程:y = f (x0).,法线方程:x = x0.,(2) 当f (x0)=(不存在
8、). 即k = tg =. 故,从而切线垂直于x轴,而法线平行于x轴.,切线方程: x = x0.,法线方程: y = f (x0).,如图,单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1.,法线方程: y = 0.,又如图,由于在原点(0,0)处,x,y,0,(不存在),从而切线方程: x=0, 法线方程: y = 0.,例8. 求过点(2, 0)且与曲线y=ex相切的直线方程.,解:由于点(2, 0)不在曲线y=ex上,故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).,由于(ex)=ex,因切线过点(2, 0), 代入, 得,得x0 = 3.,所求切线为y e3 = e3(
9、x3),定理. 若y=f (x)在 x0可导,则y=f (x)在 x0必连续.,证: 因f (x)在 x0可导,即,五、可导与连续的关系,由极限与无穷小量的关系,有,或,故,定理的逆命题不成立,即, 若y=f (x)在x0连续,y=f (x)在x0不一定可导.,例. 讨论f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性.,解:由于,故| x |在x=0连续.,但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|=,x, x0,x, x0,=1,= 1,由于左、右导数不相等, 故|x|在x=0不可导.,如图,一般, 函数在尖点(角点)处不可导.,x,y,0,定理1. 设函数u=u(x),v=v(x
10、)在点x处可导,则,均在x处可导.,且,4 2 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,证:(1) 记 y=u (x)v(x),从而,从而,(2) 要证,记,故,因u、v可导, 从而连续, 故当x 0时, V0.,证略,定理中的(1)、(2)都可推广到有限多个的情形.,如,(u+v+w) = u+v+w,(uvw) = uvw+uvw+uvw,推论:若f (x)在x处可导,c为常数,则 cf (x)在 x 处可导,且,例1. 求y = x2+5sinx的导数,解:,例2. 求 y = ax cos x的导数,解:,例3. 求,的导数,解:, 其中f (x)可导, f (x) 0,例4.
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