偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE.ppt
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1、偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E),2019/4/14,2,分离变量法,许多物理现象都具有叠加性:由几种不同原因同时出现时所产生的效果,等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加,这就是物理学中的叠加原理。,在解决数学中的线性问题时,可应用物理学中的叠加原理。,分离变量法又称Fourier方法,而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法,这个方法建立在叠加原理的基础上,其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动(总可分解为一些简谐振动的叠加),2019/4/14,3,波动方程,有界弦的自由振动,热传导方程,椭圆
2、方程,一维情形,高维情形,有界弦的强迫振动,齐次方程,非齐次方程,周期性条件,自然边界条件,一维情形,高维情形,2019/4/14,4,1. 有界弦的自由振动,(1.1),(1.2),(1.3),(1.4),首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(1.1)和边界条件(1.2)的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。,所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式,即它可表示为,(1.5),(I),2019/4/14,5,将(1.5)代入方程(1.1)和边界条件(1.2)得到,即,以及,(1.6),(1.7),(1.6)式中,左端是t的函数,右端是x的函数,由此可得只能是常数,记为
3、 。从而有,(1.8),(1.9),(1.10),2019/4/14,6,(II),本征值问题,(1.9),(1.10),情形(A),情形(B),其通解为,由(1.10),可推出,只有零解。,其通解为,由(1.10),可推出,只有零解。,2019/4/14,7,情形(C),方程的通解为,由边界条件X(0) = 0推出,再由,知道为了使,必须,于是有,这样就找到了一族非零解,本征值,本征函数,(1.11),(1.12),2019/4/14,8,由此,就得到方程(1.1)满足边界条件(1.2)的变量分离的非零特解,代入(1.8)可得,(1.13),其通解为,2019/4/14,9,(III),特解
4、的叠加,为了求出原定解问题的解,还需满足初始条件(1.3)。,一般来讲,前面求出的特解不一定满足初始条件。,为此,我们把所有特解 叠加起来,并使之满足初始条件,即取,使得,(1.14),(1.15),(1.16),2019/4/14,10,因此,,应分别是,在0, L区间上,正弦展开的Fourier级数的系数,即,(1.17),(1.18),这样,我们就给出了混合问题(1.1)-(1.4)的形式解(1.14),其中系数由公式(1.17)和(1.18)给出。,2019/4/14,11,是0, L上的正交函数列,是0, L上的正交函数列,2019/4/14,12,分离变量法的解题步骤,第一步,第二
5、步,第三步,令,适合方程和边界条件,,从而定出,所适合的常微分方程齐次边值问题,以及,适合的常微分方程。,本征值问题,求解该常微分方程齐次边值问题,求出全部本征值和本征函数,并求出相应的 的表达式。,将所有变量分离形式的特解叠加起来,并利用初始条件定出所有待定系数。,2019/4/14,13,物理意义,其中,对任意时刻,这说明,任一时刻弦的形状都是正弦波,,其振幅,随不同的时间,而不同。,2019/4/14,14,对任意一点,这表示在任意一点,处都作简谐振动。,节点,固有频率,2019/4/14,15,例,令,是齐次方程和齐次边界条件的非零解,则有,2019/4/14,16,故有,其中,201
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