偏微分方程离散-差分格式-差分方法等.ppt
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1、1,(三)偏微分方程的数值离散方法,3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 (有限元,谱方法,谱元,无网格,有限解析,边界元,特征线),2,3.1 有限差分法,3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法,3,3.1.1 模型方程的差分逼近,4,3.1.2 差分格式的构造,5,3.1.3 差分方程的修正方程,差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程,利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数,只留空间导数。 Warming-Hyett方法:
2、 差分方程(2)写成算子的形式:,6,3.1.3 差分方程的修正方程 (续),7,3.1.3 差分方程的修正方程(续),8,3.1.4 差分方法的理论基础,相容性,稳定性,收敛性 等价性定理 Fourier稳定性分析,9,3.1.4 差分方法的理论基础(续),Fourier (Von Neumann) 稳定性分析,10,3.1.4 差分方法的理论基础(续),Fourier (Von Neumann) 稳定性分(续) 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy),11,3.1.5 守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量的守恒性;守恒律组: 定义,12,3.1.5 守恒
3、型差分格式(续),守恒性质: 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。,13,3.1.5 守恒型差分格式(续),守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理: 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的,且当时间和空间步长趋于零时,差分解一致有界,几乎处处收敛于分片连续可微的函数,则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。 推论:守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件)可以得到正确的激波,研究中大量使用 例如:Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff格式,Mac Cormack格式,14,3.1.6 偏微分方程的全离散方法,对差分格式的一
4、般要求: 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 物理定律(守恒性)、物理特征(激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等)、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等) 主要指非定常方程的时间离散,15,3.1.6偏微分方程的全离散方法(续),两层格式 Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 时空全守恒:如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多层格式 Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式,16,3.1.6.1 两层格式,Crank-Ni
5、colson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法,17,3.1.6.1 两层格式(cont.),Lax-Wendroff 格式 一步LW格式,18,3.1.6.1 两层格式(cont.),Lax-Wendroff 格式 两步LW格式 常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单,不涉及矩阵相乘。,19,3.1.6.1 两层格式(cont.),Mac Cormack 格式 (1969) 两步格式 比LW更简单,不需要计算函数在半点上的值。 LW两步格式和MC各式的缺点:定常解的误差依赖于时
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