曲线的弧长.ppt
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1、1.2 曲线的弧长,一E3 中正则曲线段的长度 二弧长和弧长参数,粗略地说,在微积分学之中,当曲线“可求长”时,“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值,而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的; 勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则 换个角度去看,基本的度量规则确定了所谓的“长度”,同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式;而基本度量规则的改变,将导致不同的关于距离的几何学 下面从几何学的角度给出长度概念及其解释,一E3 中正则曲线段的长度,给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 设 C: r(t) = (x(t),
2、 y(t), z(t) , ta, b 是正则曲线上的一个弧段任取参数区间的一个划分 Dn: t0 a t1 tn = b , 对应有曲线上的分点 Pj: r(tj) , j = 0, 1, , n 相应折线的长度确定为,一E3 中正则曲线段的长度,由 Taylor 展开式,可写 r(tj) r(tj1) (Dtj) r (tj1) + (Dtj)2/2R2j , 其中余项 R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j)r (tj1) , 当 Dtj tj tj10 . 此时,一E3 中正则曲线段的长度,R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j)r (tj1) ,
3、当 Dtj tj tj10 .,记 Dn maxDtj j = 0, 1, , n , xM maxx(t) ta, b ,yM maxy(t) ta, b , zM maxz(t) ta, b , 则,一E3 中正则曲线段的长度,R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j)r (tj1) , 当 Dtj tj tj10 .,按照 Riemann 积分意义,此即证得下述结论,一E3 中正则曲线段的长度,定理1 正则曲线上的弧段 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t) , ta, b 是可求长的,且长度取值为 L(C) ab r (t) dt “长度”为几何不变量
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