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1、第四课时 等比数列(1),第六章 数列,知识梳理,一、等比数列的定义 一般地,一个数列_,即 q(nN*),则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_,公比通常用字母q 表示(q0) 二、等比数列的通项公式 an_.,答案:一、从第二项起, 每一项与前一项的比都是同一个常数 公比 二、a1qn1,三、等比数列的前n项和 Sn 四、等比数列的中项公式 如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做_,即_,答案:四、a与b的等比中项 G,五、等比数列的主要性质 1anamqnm(n,mN*) 2对于任意正整数m、n、r、s,只要满足mnrs,则_ 3对于任意正整数p、r、s,如果pr2s,则_
2、 4对任意正整数n1,有 an1an1. 5对于任意非零实常数b,ban也是等比数列 6若an、bn是等比数列,则anbn也是等比数列,答案:五、2.amanaras 3.apar,7等比数列 中,如果an0,则logaan是等差数列 8若数列logaan成等差数列,则an成等比数列 9若数列 是等比数列,则数列a2n,a2n1,a3n1,a3n2,a3n等都是等比数列 10若等比数列 的公比q1,前n项和为Sn,则Sm,S2mSm,S3mS2m成等比数列,所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m).,基础自测,1(2010年全国卷)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a35,a7a8a91
3、0,则a4a5a6( ) A5 B7 C6 D4,解析:由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2a 5,a7a8a9(a7a9)a8a 10,所以a2a850 ,,答案:A,2(2010年辽宁卷)设Sn为等比数列 的前n项和,已知3S3a42,3S2a32,则公比q( ) A3 B4 C5 D6,解析:两式相减得, 3a3a4a3,a44a3,,答案:B,3A(2011年广州一模)各项都为正数的等比数列an中,a1=2,a6=a1a2a3 ,则公比q的值为 ( ) A B C2 D3,C,3B(2010年长沙模拟)设数列 为公比q1的等比数列,若a4,a5是方程4x28x30的两根,则a
4、6a7_.,18,4(2010年佛山一模)若数列an满足:a11,an12an(nN*),其前项n和为Sn,则S44a4_.,17,已知等比数列an中,a1a2a37,a1a2a38,求an.,思路分析:利用等比数列的基本量的关系式,根据条件列方程,进而求出a1和q.,解析:设an的公比为q,由题意知,an2n1或an23n.,点评:转化成基本量的方程,进而解方程是解决数列问题的基本方法,变式探究,1(2010年温州模拟)已知an是等比数列,a24,a5 ,则公比q( ) A B2 C2 D.,解析:由a5 a2q34q3,解得q . 答案:D,2(2011年深圳罗湖区检测)设等比数列an的公
5、比q1,前n项和为Sn.已知a32,S45S2,求an的通项公式,解析:,由得1q45(1q2),(q24)(q21)0, (q2)(q2)(q1)(q1)0, 因为q1,解得q1或q2. 当q1时,代入得a12, 通项公式an2(1)n1; 当q2时,代入得a1 ,通项公式an (2)n1.,已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列: , 恰为等比数列,其中k11,k25,k317,求k1k2k3kn.,思路分析:运用等差(比)数列的定义分别求得 ,然后列方程求得kn.,解析:设an的首项为a1, 成等比数列, (a14d)2a1(a116d),得a12d,q 3. a1(
6、kn1)d,又 a13n1, kn23n11. k1k2kn2(133n1)n 2 n3nn1.,点评:运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键,转化时要注意:akn是等差数列中的第kn项,也是等比数列中的第n项,变式探究,3(2010年崇文区统测)在正项等比数列an中,a3a74,则数列log2an的前9项之和为_,答案:9,4(2010年杭州模拟)已知 是等比数列,a22,a5 ,则a1a2a2a3anan1( ) A16(14n) B16(12n) C. (14n) D. (12n),解析:由a5 a2q32q3,解得q . 数列 仍是等比数列:其首项是a1a28,公比为
7、 .所以,,答案:C,(2010年大连模拟)在数列an中,a11,a22,且an1(1q)anqan1(n2,q0) (1)设bnan1an(nN*),证明bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式,思路分析:本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.,解析:(1)证明:由题设an1(1q)anqan1(n2),得 an1anq(anan1),即 q,(n2) 又b1a2a11,q0, 所以bn是首项为1,公比为q的等比数列,(2)由(1)得an1anqn1(nN*),于是有 a2a11, a3a2q, anan1qn2,(
8、n2) 将以上各式相加,得ana11qqn2(n2) 所以当n2时,an,上式对n1显然成立,点评:等比数列的判定方法主要有: (1)定义法: q(q是不为0的常数,nN*)an是等比数列 (2)通项公式法:ancqn(c、q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列 (3)等比中项公式法: anan2(an、an1、an2不为零,nN*)an是等比数列,变式探究,5.在数列 中,a12,an14an3n1,nN*. (1)证明数列 是等比数列; (2)求数列 的前n项和Sn; (3)证明不等式Sn14Sn,对任意nN*皆成立,思路分析:本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公
9、式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法,解析:(1)证明:由题设an14an3n1,得 an1(n1)4(ann),nN*.又a111,所以数列 是首项为1,且公比为4的等比数列 (2)由(1)可知ann4n1,于是数列的通项公式为an4n1n.,(3)证明:对任意的nN*,,所以不等式Sn14Sn,对任意nN*皆成立,6数列 , 的通项公式分别是an2n,bn3n2,它们的公共项由小到大排列的数列是 . (1)写出 的前5项; (2)证明 是等比数列,解析:(1) 的前5项为:8、32、128、512、2048. (2)设ambpcn,cn2m3p2, 而am122m2(3p2)
10、3(2p1)1 am1不在bn中,又am242m4(3p2) 3(4p2)2,am2在bn中, am2是 中的项即cn1项, cn14cn,故 是等比数列,(2011年济宁模拟)已知数列an、bn、cn的通项公式满足bnan1an,cnbn1bn(nN*),若数列bn是一个非零常数列,则称数列an是一阶等差数列;若数列cn是一个非零常数列,则称数列an是二阶等差数列 (1)试写出满足条件a11,b11,cn1的二阶等差数列an的前五项; (2)求满足条件(1)的二阶等差数列an的通项公式an; (3)若数列an首项a12,且满足cnbn13an2n1(nN*),求数列an的通项公式,解析:(1
11、)a11,a22,a34,a47,a511; (2)依题意 bn1bncn1,n1,2,3, 所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b111111n. 又an1anbnn,n1,2,3, 所以an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(n2)211,(3)由已知cnbn13an2n1,可得 bn1bnbn13an2n1,即bn3an2n1, 即an14an2n1.,解法一:整理得:an12n14(an2n),因而数列an2n的首项为a124,公比为4的等比数列, an2n44n14n, 即an4n2n. 解法二:在等式an14an2n
12、1两边同时除以2n1,令kn ,则kn12kn1,即kn112(kn1) 故数列kn1是首项为2,公比为2的等比数列, 所以kn122n12n,即kn2n1, an2nkn2n(2n1)4n2n.,变式探究,7.(2011年南京模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,首项为a1,且2,an,Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式; (2)若bnlog2an,cn ,求数列cn的前n项和Tn.,解析:(1)由题意知2anSn2,an0, 当n1时,2a1a12,a12, 当n2时,Sn2an2,Sn12an12, 两式相减得 an2an2an1,整理得 2. 数列an是以2为首项,
13、2为公比的等比数列 ana12n122n12n.,(2)由(1)知an2n,bnn, cn .,1等比数列的判定方法 (1) q(q是不为0的常数,nN*) 是等比数列; (2) cqn(c,q均是不为0的常数,nN*) 是等比数列; (3) anan2(an0,nN*)an是等比数列; (4)SnAqnA(A,q为常数且A0,q0,1) 是公比不为1的等比数列 2an为等比数列是 anan2的充分但不必要条件 3若证an不是等比数列,只需证 ak1ak1(k为常数,kN,且k2),1(2010年广东卷)已知数列an为等比数列,Sn是它的前n项和若a2a32a1, 且a4与2a7的等差中项为 ,则S5( ) A35 B33 C31 D29,解析:设an的公比为q,则由等比数列的性质知,a2a3a1a42a1,即a42.,答案:C,2(2010年北京卷)已知an为等差数列,且a36,a60. (1)求an的通项公式; (2)若等比数列bn满足b18,b2a1a2a3,求bn的前n项和公式,解析:(1)设等差数列an的公差为d. 因为a36,a60,,解得a110,d2. 所以an10(n1)22n12.,(2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2a1a2a324,b18, 所以8q24,即q3. 所以数列bn的前n项和公式为Sn,祝,您,学业有成,
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