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1、第10章 Z-变换,The Z-Transform,本章主要内容,1. 双边Z变换及其收敛域ROC。,2. ROC的特征,各类信号的ROC,零极点图。,3. Z反变换,利用部分分式展开进行反变换。,5. 常用信号的Z变换,Z变换的性质。,6. 用Z变换表征LTI系统,系统函数,LTI系统 的Z变换分析法,系统的级联与并联型结构。,4. 由零极点图分析系统的特性。,7. 单边Z变换,增量线性系统的分析。,10.0 引言 (Introduction),10.1 双边 Z 变换,当 时, 即为离散时间傅立叶变换。 这表明:DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。,其中 是一个复数。,一.双边Z变换的定义
2、:,The z-Transform,可见:对 做 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此,Z 变换是对DTFT的推广。,二. Z变换的ROC:,Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。,1. 并非任何信号的Z变换都存在。,2. 并非Z平面上的任何复数都能使 收敛。Z平面上那些能使 收敛的点的集合,就构成了 的ROC。,例1.,时收敛,当 时,,此时,ROC包括了单位圆。,的DTFT存在,例2.,例3.,例4.,一般情况下, 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。,结 论:,1)Z变换存在着收敛的问题,不是任何信号都存在Z变换,也不是任何复数Z都能使 收敛。,2)仅仅由 的表达式不能唯一地确
3、定一个信号,只有 连同相应的ROC一道,才能与信号 建立一一对应的关系。,3)Z变换的ROC,一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。,4)如果 ,则其ROC是各个 的ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 的Z变换不存在。,5)当 是有理函数时,其ROC的边界总是由 的极点所在的圆周界定的。,6)若 的ROC包括单位圆,则有,三. 的几何表示零极点图:,如果 是有理函数,将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到:,由其全部的零、极点即可确定出 ,最多相差一个常数因子 。,如果在零极点图上同时标出ROC,则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。,因此,若在 Z 平面上表示出 全部的零极点,即
4、构成 的几何表示零极点图。,零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性,具有重要的用途。,1. 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。,10.2 Z 变换的ROC,The Region of Convergence for the z-Transform,ROC的特征:,3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面(可能不包括 ,或 )。,2. 在ROC内 无极点。,由,当 时,在 的展开式中,只有z的负幂项,故z不能为0,但可以取 。,当 时,在 的展开式中,只有z的正幂项,故z不能为 ,但可以取0。,当 时,在 的展开式中,既有z的正幂项,也有负幂项,故z既不能为 也不能取0。,4.
5、右边序列的ROC是某个圆的外部,但可能不包括 。,设 是右边序列,,由 , 有,若 则,,当 时,由于 展开式中有若干个Z的正幂项,此时 不能为 。,5. 左边序列的ROC是某个圆的内部,但可能不包括 。,若 , ,则,当 时,由于 的展开式中包括有Z的负幂项,所以Z不能为零。,6. 双边序列的Z变换如果存在,则ROC必是一个环形区域。,零点:,在 处,零极点抵消,使有限 z平面内无极点。,例2.,在 时,两个子收敛域无公共部分,表明此时 不存在。,时,ROC为,例3.,若其ROC为:,ROC是否包括 ,是 是否反因果的标志。,ROC是否包括 ,是 是否因果的标志。,信号与系统,注意,对于双边
6、z变换,不同的收敛域对应的原函数不同,所以求解反变换时要注明收敛域; 收敛域中不包括任何极点; 收敛域以极点为界; 对于多个极点的情况,右边序列的收敛域是从最大的极点向外至无穷远(可能包括无穷远);反之,左边序列的收敛域由最小的极点向内至原点(可能包括原点);双边序列的收敛域若存在则为圆环;有限序列的收敛域为整个平面(0与无穷远位置是否包括在内要视信号的形式);,10.3 Z-反变换,令,一.Z-反变换:,The Inverse Z-Transform,当 从 时,z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。,1. 部分分式展开法:,二. 反变换的求取:,当 是有理函数时,可将其展开为部分分式,步
7、骤 :1. 求出 的所有极点 ; 2. 将 展开为部分分式;,3. 根据总的ROC,确定每一项的ROC; 4. 利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。,例:,将 展开为部分分式有:,信号与系统,例题,例 计算 的z反变换。,信号与系统,Z逆变换,重极点情况: 设 在 处有m重极点,如拉氏反变换那样, 的部分分式展开式中关于重极点 的分项,然后计算相应的z反变换。,信号与系统,例题,例 计算 的z反变换。,2. 幂级数展开法:(长除法),由 的定义,将其展开为幂级数,有,展开式中 项的系数即为 。当 是有理函数时,可以通过长除的方法将其展开为幂级数。,由于右边序列的展开式中应包含无数多个
8、Z的负幂项,所以要按降幂长除。,由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项,所以要按升幂长除。,双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分,再分别按上述原则长除。,例:,幂级数展开法的缺点是当 较复杂(含多个极点时)难以得出 的闭式。,所以前式按降幂长除,后式按升幂长除。,幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式 的反变换。,3. 留数法:,是C内的极点。,对有理函数的 由留数定理有:,当ROC包括 时,Z 变换在单位圆上的情况就是 ,因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。,10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值,Geometric Evaluation of the
9、 Fourier Transform from the Pole-Zero Plot,其方法与拉氏变换时完全类似:,考查动点在单位圆上移动一周时,各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况,即可反映系统的频率特性。,例1. 一阶系统,当 时,ROC包括单位圆。,显然, 取决于 的变化。,当 时,,当 时, 有最小值。,随 呈单调变化。,在 处, 有最大值。,一阶系统的频率特性:,当 时,,越小,极点靠原点越近,系统的频率响应越平缓,系统的带宽越宽;此时 衰减越快, 上升越快。,越大,极点靠单位圆越近,系统频响越尖锐,频响的极大值越大,系统带宽越窄,相位的非线性程度越厉害。,可以看出:,例2.
10、二阶系统:,(系统欠阻尼),考查动点在单位圆上移动一周时,各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况,即可得到二阶系统的频率特性。,当 从 时,在靠近 处频率响应会出现极大值。,若r越接近于1, 的峰值越尖锐。由于极点远离原点, 和 的变化速率越慢。,随着r减小,极点逐步靠近原点,频率响应趋 于平坦,而 和 的变化速率会加快。,二阶系统的频率特性:,当极点很靠近单位圆时,也可以从零极点图粗略确定系统的带宽。,更一般的情况,二阶系统也可能 有两个实数极点,此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。,(二阶系统具有重阶实数极点的情况),Z变换的许多性质与DTFT的性质相似,其推
11、论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。,则,:包括,10.5 Z变换的性质,1. 线性:,Properties of the Z-transform,如果在线性组合过程中出现零极点相抵消,则ROC可能会扩大。,2. 时移:,但在 和 可能会有增删。,由于信号时移可能会改变其因果性,故会使ROC 在 , 有可能改变。,若,则,信号与系统,z变换时移性质,单边z变换: 位移只会使得z变换在原点和无穷远的零、极点情况发生变化。,信号与系统,z变换时移性质,因果序列右移: 双边z变换: 位移性质可用于求解系统的各个响应。,信号与系统,z变换时移性质,例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件
12、下的系统响应。,信号与系统,z变换时移性质,例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。,3. Z域尺度变换:,若,则,时 收敛,故 时, 收敛。,当 时,即为移频特性。,若 是一般复数 ,则 的零极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度 ,而且在径向有 倍的尺度变化。,4. 时域反转:,若,信号在时域反转,会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。,即: 与 的零极点呈共轭倒量对称。,则 的ROC为,5. 时域内插:,若,则,证明:,6. 共轭对称性:,当 是实信号时, 于是有,表明如果 有复数零极点,必共轭成对出现。,若,则,7. 卷积性质:,若,包括,如果在相乘时出现零
13、极点抵消的情况则ROC 可能会扩大。,该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。,则,信号与系统,例题,例 计算卷和,信号与系统,例题,例 计算 的z变换,8. Z域微分:,例1.,利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换,或具有高阶极点的 的反变换。,若,则,例2:,9. 初值定理:,则,若 是因果信号,且,证明:将 按定义式展开有:,10. 终值定理 :,若 是因果信号,且 , 除了在 可以有一阶极点外,其它极点均在单位圆内,则,证明:,在单位圆上无极点.,这其实表明:如果 有终值存在,则其终 值等于 在 处的留数。,Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图,10.6 常用信号的Z变
14、换对,10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统,一.系统特性与 的关系:,(自学),Some Common Z-Transform Pairs,Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms,LTI系统的特性可以由 或 描述,因而也可以由 连同ROC来表征。,称为系统函数。系统的特性应该在系统函数中有所表现。,因此,因果稳定的LTI系统其 的全部极 点必须位于单位圆内,反之亦然。,当 是关于 Z 的有理函数时,因果性要 求 的分子阶数不能高于分母阶数。,信号与系统,例题,例 图示出了一个离散反馈控制系统。已知它的正
15、向传输 ,而它的反向传输 ,求使系统稳定的K值范围。,二. LTI系统的Z变换分析法:,1) 由 求得 及其 2)由系统的描述求得 及其,三. 由LCCDE描述的LTI系统的 :,对方程两边做Z变换可得:,3) 由 得出 并确定它 的ROC包括 。 4) 对 做反变换得到 。,由差分方程描述的LTI系统,其方程为,是一个有理函数。,的ROC需要通过其它条件确定,如:,1.系统的因果性或稳定性。 2.系统是否具有零初始条件等。,例:由下列差分方程做出网络结构,并求其系统函数 H(z) 和单位脉冲响应 h(n)。,解:由方程可得,FIR,解:由方程可得,利用Z变换的性质可得,IIR,一. 系统互联
16、的系统函数:,ROC包括,10.8 系统函数的代数属性与系统的级联、并联结构,System Function Algebra and Block Diagram Representations,1. 级联:,ROC包括,3. 反馈联接:,2. 并联:,由系统框图可列出如下方程:,ROC:包括,由LCCDE描述的LTI系统,其系统函数为有理函数,可以将其因式分解或展开为部分分式。,二. LTI系统的级联与并联结构:,1 .级联型:,其中 是二阶(或一阶)系统函数。,由此即可得系统的级联结构:,将 因式分解,在无重阶零极点时可得:,N为偶数时,LTI系统的级联型结构,2. 并联型:,将 展开为部分
17、分式,在无重阶极点时有,N为偶数时,信号与系统,例题,例 求下列二阶离散系统的z域模拟,信号与系统,例题,例 求M阶滑动平均离散系统 的z域模拟图。 这是一般系统在 时的特殊情况,它构成长M的FIR数字滤波器。此时反馈系统函数 ,使得系统仅有前馈环节,即,10.9 单边Z变换:,一. 单边Z变换:,单边Z变换是双边Z变换的特例,也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换 的ROC一定是最外部极点的外部,并且包括 。,The Unilateral Z-Transform,所以在讨论单边Z变换时,不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。,如果信号 不是因果序列,则其双边Z变换
18、与单边Z变换 不同。,例1:,对其做双边Z变换有:,显然,对其做单边Z变换有:,例2.,对其做双边Z变换有:,对其做单边Z变换有:,这是因为 在 的部分对双边Z变换起作用,而对单边Z变换不起作用所致。,只要所涉及的信号是因果信号,单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外,其它性质与双边Z变换的情况是一致的。,显然,二. 单边Z变换的性质:,时移特性:,Proof:,若,则,同理可得:,Proof:,同理可得:,单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时,可以自动将方程的初始条件引入,因而在解决增量线性系统问题时特别有用。,三. 利用单边Z变换分析增量线性系统:,则,信号与系统,3)求反变换,
19、得差分方程时域解。,零输入响应Z域求解的一般形式:,1)对差分方程进行Z变换(用移序性质) ;,2)由Z域方程求出响应;,离散系统的z域分析,信号与系统,例: 已知某线性时不变系统数学模型如下: y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0 ,初始状态y(-1)=4,y(-2)=1,求零输入响应y(n)。,解:,对差分方程进行Z变换(用移序性质) ;,信号与系统,离散系统的z域分析,1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 利用z变换的时移性质可以方便的求解各系统响应 例 求输入为 的二阶LTI离散系统 在初始条件 下的零输入响应、零状态响应和全响应。,信号与系统,离散系统的z
20、域分析,1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 例,信号与系统,离散系统的z域分析,2. LTI离散系统的系统函数 定义为离散系统单位采样响应的z变换。 由于系统零状态响应等于输入激励与系统单位采样响应的卷和,使得零状态响应的z变换等于输入激励的z变换乘以系统函数,即,信号与系统,离散系统的z域分析,2. LTI离散系统的系统函数 设描述N阶LTI离散系统的差分方程为 当一个物理可实现系统(其单位采样响应一定是因果的)的输入为因果信号时,系统零状态响应一定也是因果的,信号与系统,离散系统的z域分析,2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样
21、响应和在输入 时的零状态响应。,信号与系统,离散系统的z域分析,2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。,2019/4/14,例:,解:,2019/4/14,2019/4/14,例:,解:,2019/4/14,2019/4/14,Fibonacci序列,Fibonacci序列,Fibonacci序列,Fibonacci序列,Fibonacci序列,1. 讨论了对离散时间信号和LTI系统进行Z变换分析的方法,整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。,10.10 小结:Summary,2. 与拉氏变换的情况对照,可以发现S平面与Z平面之间存在着一种影射关系, 就是这种联系。,将连续时间信号 采样,可以得到:,对其做拉氏变换有:,对采样所得到的样本序列 做Z变换有:,比较两式,可以得出S平面与Z平面之间有:,映射过程:,3. 利用Z变换分析LTI系统,较之DTFT具有更方便、更广泛适用的优点。,这种映射关系在数字信号处理,特别是数字系统设计中是非常重要的。明确了这种关系就很容易对Z 变换与拉氏变换的关系及差异之处有更清楚的认识。,4. 单边Z变换是分析增量线性系统的有力工具。,
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