六章节概率与概率分布.ppt
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1、2019/4/14,1,第六章 概率与概率分布,本章是推断统计的基础,主 要 内 容,基础概率,概率的数学性质,概率分布、期望值与变异数,2019/4/14,2,参数估计和假设检验,推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断,这是以概率论为基础的。,随机原则,总体,样本,总体参数,统计量,推断估计,参数估计,检验,假设检验,抽样分布,2019/4/14,3,第一节 基础概率,概率论起源于17世纪,当时在人口统计、人寿保险 等工作中,要整理和研究大量的随机数据资料,这就需 要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想:如果同时掷两颗骰子 ,则点数之和为 9 和点数之和为10 ,哪种
2、情况出现的可能性较大? 例如17世纪中叶,贵族德梅尔发现:将一枚骰子 连掷四次,出现一个6 点的机会比较多,而同时将两枚 掷24次,出现一次双6 的机会却很少。,2019/4/14,4,概率论的创始人是法国的帕斯卡(16231662)和费 尔马(16011665),他们在以通信的方式讨论赌博的机率 问题时,发表了骰子赌博理论一书。棣莫弗(1667 1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一 1705)提出了二项分布理论。1814年,法国的拉普拉斯 (17491827)发表了概率分析论,该书奠定了古典概 率理论的基础,并将概率理论应用于自然和社会的研 究。此后,法国的泊松(17
3、811840)提出了泊松分布,德 国的高斯(17771855)提出了最小平方法。,2019/4/14,5,随机现象和随机事件,随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。,人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。,概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象,是指事先不能精确预言其结果的现象,如即 将出生的婴儿是男还是女?一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点,那就是在给定的条件下,观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性,但内中也有一定的规 律性。例如,事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别,但大量观察,我们会发现妇女生男生
4、女的 可能性几乎一样大,都是0.5,这就是概率。,2019/4/14,6,在统计学中,我们把类似掷一枚硬币的行为(或对某一随机现象进行观察)称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件:它可以在相同条件下重复进行;试验的所有结果事先已知;每次试验只出现这些可能结果中的一个,但不能预先断定出现哪个结果。,1.样本点 2.样本空间 例 掷一颗骰子,试列出它的基本事件和样本空间。,随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件(或称样本点),所有样本点的全体称作样本空间(Sample space),记作,2019/4/14,7,简单事件:仅含样本空间中一个样本点的事件。,复合事件:含样本空间中一个样本点以
5、上的的事件。,必然事件:从样本空间来看 ,该事件事件是由其全部基本事件所组成,记作S 。,随机事件,不可能事件:从样本空间来看 ,不含任何基本事件,记作 。,极端的 随机事件,2019/4/14,8,例 对掷一颗骰子的试验,我们研究如下 事件:A为“点数是3”;B为“出现奇数点”; C为“出现点数不超过6”;D为“点数是7”。 解 因为1,2,3,4,5,6,所以 A3 ,为简单事件; B1,3,5,为复合事件; C1,2,3,4,5,6,为必然事件; D7,为不可能事件。,2019/4/14,9,2. 事件之间的关系 (1)事件和(Or conjunction)事件A与 事件B至少有一个事件
6、发生所构成的事件C称为A 与B的事件和,记作 (2)事件积(As-well-as conjunction)事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积,记作,2019/4/14,10,(3)事件的包含与相等事件A发生必然 导致事件B发生,则称为B包含A记作 如果 则 (4)互斥事件事件A和事件B不能同时 发生,则称B和A是互斥事件,或互不相容事 件,记作,2019/4/14,11,(5)对立事件事件A与事件B是互斥事 件,且在一次试验中必有其一发生,称A与B为 对立事件(逆事件),记作 (6)相互独立事件事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系,称A与B为相互独立事 件,记作,20
7、19/4/14,12,两之 随间 机的 事关 件系,2019/4/14,13,3. 先验概率 在统计学中,有两种常见的确定概率的方法:古 典法和频率法。,由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象,利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率,故被称为先验概率 。,条件: (1)在一样本空间中,各样本点出现的机会均等; (2)该样本空间只有有限(n)个样本点。,用古典 法求出 的概率,2019/4/14,14,例 掷两枚均匀的硬币, 求“两枚都朝上”的概率; 求“一枚朝上,一枚朝下”的概率。,这样对于含有m个样本点的事件A,其出现 的概率为,用古典法求算概率,在应用上有两个缺点:它只适用于有限样本点
8、的情况;它假设机会均等,但这些条件实际上往往不能得到满足。,2019/4/14,15,4. 经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A,把这个试验一次又一次地做下去,每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验,而记录到事件A发生了 m 次 (即成功 m 次),则频数与试验次数的比值,称作次试验中事件A 发生的频率 显然,频率具有双重性质:随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定,这个极 限值就是用频率法所定义的概率,即 频率稳定到概率这个事实,给了“机会大小”即概率一个浅显而 说得通的解释,这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观
9、点的 统计学派也就被称为频率学派。,2019/4/14,16,比如: 法国统计学家蒲丰(Buffon)把铜板抛了4040次,正面的次数是2048,比例是0.5069 。 1900年,英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次,正面的次数是12012,比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时,把硬币抛了10000次,正面的次数是5067,比例是0.5067 。 再如: 保险公司会利用概率进行人寿保险经营,比如研究表明2024岁的男性中明年死亡的概率是0.0015,同龄的女性是0.0005,保险公司对男性的保费就多收一些。,2019/4/14,17,2.加法规则 如果事件A和事件B互斥,那么 如
10、果A和B是任何事件(不一定互斥), 加法规则更普通地表示为如下形式,第二节 概率的数学性质,1.非负性,特别对必然事件 和不可能事件有,2019/4/14,18,例从一副普通扑克牌中抽一张牌,求抽到一张红 桃或者方块的概率。 例 在一副52张扑克牌中,求单独抽取一次抽到一 张红桃或爱司的概率。,2019/4/14,19,加法规则可推广到对两个以上的事件,若事件A,B,CK都互斥,那么有 P (A或B或C或K)P(A)+P(B)+P(C) +P(K),例 根据上海市职业代际流动的统计,向下流动 的概率是0.07,静止不动的概率是0.6,求向上流动的 概率是多少? 例 为了研究父代文化程度对子代文
11、化程度的影 响,某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占 30,母亲具有大学文化程度的占20,而双方都具 有文化程度的占有10,问从学生中任抽一名,父代 至少有一名具有大学文化程度的概率是多少?,2019/4/14,20,3.乘法规则 式中符号 和 代表条件概率。 应理 解为,“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是, A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之,B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。 理解统计独立的概念,对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达,统计独立是指 若A和B在统计上相互独立(无关) ,这时乘法规则可以简化为,
12、2019/4/14,21,例假定有下列3000个社区的数据,如果随机地从这 个总体中抽取一个社区,得到一个中等的而且犯罪率 低的社区的概率是多少? 例假定数据变动如下,随机地从这个总体中抽取一个社区,得 到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少?,2019/4/14,22,例 根据统计结果,男婴出生的概率是 22/43,女婴出生的概率是21/43,某单位有两名 孕妇,问两名孕妇都生男婴的概率是多少?都 生女婴的概率是多少?其中一男一女的概率是 多少? 例 某居民楼共20户,其中核心家庭为2 户,问访问两户都是核心家庭的概率是多少? 问访问第二户才是核心家庭的概率是多少?,2019/4/14
13、,23,例 为了研究父代文化程度对子代文 化程度的影响,某大学统计出学生中父亲 具有大学文化程度的占30,母亲具有大 学文化程度的占20,而双方都具有文化 程度的占有10,问从学生中任抽一名, 父代至少有一名具有大学文化程度的概率 是多少?,2019/4/14,24,在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所 述,所谓回置抽样,就是抽取的单位登记后又被放回总体中去,然 后再进行下一次抽取。使用回置抽样法,先后两次抽取是彼此独立 的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还,总体保持不变,前 一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样,就是不再把抽 取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就
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