模煳数学教案01.ppt
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1、模糊数学,北京化工大学理学院 杨卫星 行政楼428 ,课程简介,介绍模糊数学基本理论和基本研究方法 研究性学习过程 接触一些前沿问题和最新研究动态 参考书目 :模糊数学方法及其应用第三版,谢季坚,刘承平,华中科技大学出版社 模糊理论基础,胡宝清,武汉大学出版社,成绩评定,课程性质:24学时,选修课 成绩评定:20%平时作业,考勤 30%读书报告 50% 闭卷考试,读书报告要求,选择国内外期刊正式发表的文章,用到了模糊数学的思想或者方法,中英文均可。 长度至少2 页,A4 纸打印,文献和读书报告都要交,考试前上交。 内容包括:,1)论文所研究的问题 以及这个问题为什么有意义; 2)论文的基本假设
2、,这些假设是否合理; 3)论文使用的方法; 4)论文选取的模型; 5)基本结果; 6)该论文的贡献和缺陷, 你对结果的思考或可能扩展 或者其他你认为应该包含的内容。,第 1 章 模糊集的基本概念,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知,经典数学是以精确性为特征的.,然而,与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说,有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息男人,而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念,但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综
3、合分析判断,就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门,农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.,模糊数学的主要内容,三个基本概念:模糊集合,模糊关系, 模糊隶属函数 三大基本原理:分解定理,表现定理, 扩张原理 三个基本应用:模糊聚类分析,模糊模式 识别,模糊综合评判 三大热门专题:模糊决策 理论,模糊逻辑 系统,模糊测度理论,1.2 模糊理论的数学基础,经典集合 经典集合具有两条基本属性:元素彼此相异,即无重复性;范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.
4、,集合的表示法: (1)枚举法,A=x1 , x2 , xn; (2)描述法,A=x | P(x). AB 若xA,则xB; AB 若xB,则xA; A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集,记为(A).,并集AB = x | xA或xB ; 交集AB = x | xA且xB ; 余集Ac = x | xA .,集合的运算规律 幂等律: AA = A, AA = A; 交换律: AB = BA, AB = BA; 结合律:( AB )C = A( BC ), ( AB )C = A( BC ); 吸收律: A( AB ) = A,A( AB ) = A;,分配律:( A
5、B )C = ( AC )( BC ); ( AB )C = ( AC )( BC ); 0-1律:AU = U , AU = A ; A = A , A = ; 还原律: (Ac)c = A ; 对偶律: (AB)c = AcBc,(AB)c = AcBc; 排中律: AAc = U, AAc = ;,U 为全集, 为空集.,集合的直积: X Y = (x , y )| xX , y Y .,映射与扩张,映射 f : X Y 集合A的特征函数:,特征函数满足:,取大运算,如23 = 3,取大运算,如23 = 2,扩张:点集映射 集合变换,二元关系,X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二
6、元关系, 特别地,当 X = Y 时,称之为 X 上的二元关系.二元关系简称为关系. 若(x , y )R,则称 x 与 y 有关系,记为 R (x , y ) = 1; 若(x , y )R,则称 x 与 y 没有关系,记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y 0,1 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.,关系的三大特性:,设R为 X 上的关系 (1) 自反性:若 X 上的任何元素都与自己有关系R,即R (x , x) =1,则称关系 R 具有自反性; (2) 对称性:对于X 上的任意两个元素 x , y,若 x 与y 有关系R 时,则 y 与 x 也有关系R,即若R
7、(x , y ) =1,则R ( y , x ) = 1,那么称关系R具有对称性; (3) 传递性:对于X上的任意三个元素x, y, z,若x 与y 有关系R,y 与z 也有关系R 时,则x与z 也有关系R,即若R (x , y ) = 1,R ( y , z ) =1,则R ( x , z ) = 1,那么称关系R具有传递性.,关系的矩阵表示法,设X = x1, x2, , xm,Y= y1, y2, , yn,R为从 X 到 Y 的二元关系,记 rij =R(xi , yj ),R = (rij)mn, 则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或
8、1的矩阵.,关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.,(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY ,关系合成的矩阵表示法,设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn,且X 到Y 的关系 R1 = (aik)ms, Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)sn, 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成: R1 R2 = (cij)mn, 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,定义:若R
9、为 n 阶方阵,定义 R 2 = R R,R 3 = R 2 R ,例 设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,R1 =(x, y) | x + y = 6,= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(x, y) | y z = 1,= (2,1), (3,2), (4,3),则R1与 R2的合成,R1 R2=(x, y) | x + z = 5,= (2,3), (3,2), (4,1).,合成( )运算的性质:,性质1:(A B) C = A (B C); 性质2:Ak Al
10、 = Ak + l,(Am)n = Amn; 性质3: A ( BC ) = ( A B )( A C ) ; ( BC ) A = ( B A )( C A ) ; 性质4:O A = A O = O,I A=A I =A; 性质5:AB,CD A C B D.,O为零矩阵,I 为 n 阶单位方阵. AB aijbij .,关系三大特性的矩阵表示法:,设R为 X = x1, x2, , xn 上的关系,则其关系矩阵R = (rij)nn 为 n 阶方阵.,(1) R具有自反性 I R; (2) R具有对称性 RT = R ; (3) R具有传递性 R2R .,若R具有自反性,则,I R R2
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