第19讲Lebesgue积分的极限定理.ppt
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1、第19讲 Lebesgue积分的极限定理,本讲目的:掌握控制收敛定理,并能熟练运用,了解一个函数Riemann可积的充要条件。 重点与难点:控制收敛定理及其证明。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,基本内容: 如所周知,函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题,也是困难的问题, 同时,它又是应用十分广泛的问题。有 时,为了讨论这类问题,人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由Levi定理知,对于E上非负单调递 增可测函数列fn,其积分与极限可以交 换顺序,即 limEfn(x)dx =Elimfn(x)dx
2、 (1),对一般非负可测函数fn,由Fatou引理 知有如下的不等式: Elimfn(x)dx limEfn(x)dx (2),第19讲 Lebesgue积分的极限定理,问题1:对非负可测函数列 fn ,上述 不等式中严格不等式能否成立? 举例说明。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,既然对一般的可测函数列fn,等式 (1)未必成立,下面的问题便是自然的: 问题2:对一般可测函数列fn ,等式(1) 何时成立?,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,一个平凡的事实是:如果有限测度集 E上的Lebesgue可积函数列 fn一致收敛 到 f,则
3、f也是E上的Lebesgue可积函数, 且等式(1)成立。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,然而,一致收敛性条件太强,大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设 fn 是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列,且一致收敛到f,则对任意0,存 在自然数N,当nN时,有 |fn(x)-f(x)| (xE), 于是 |fn(x)| |f(x)|+ (xE) (3),第19讲 Lebesgue积分的极限定理,因 E是有限测度集,故|f(x)|+ 是 E上的可积函数,由(3)可以看出,函 数序列由一个可积函数控制住了。,Lebesgue积分的极限定理,在Levi定理中
4、, 是单调递增的非负 函数序列,其极限函数f满足: 这就是说,该函数列由它的极限函数控制。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,回忆一下,为什么(2)中不等式 可以成立?问题出在哪里?我们回过头 再来看看例子 0 x(1/n,1) , fn(x) = n x (0,1/n, 为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,尽管fn(x) 在(0,1)上处处收敛到0,但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大, 它在( 0,1)上不能被任何可积函数控制住。 (为什么?)上述分析给了我们何种启示 ?如 果希望等式(1)成立, 应该附加一个什么样 的条件?
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