第4章矩阵的分解.ppt
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1、第4章、 矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解: A=A1+A2+Ak 矩阵的和 A=A1A2 Am 矩阵的乘积 矩阵分解的原则: 实际应用的需要,理论上的需要 计算上的需要,显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法之一 主要技巧: 各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块,4.1 LU分解(图灵Turing, 1948),LU分解:ACnn, 若A的顺序主子式不为零,则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角形矩阵L 与唯一的上三角形矩阵U ,使得A=LU. 例如:,Application,可以简化求解线性方程的算法,举
2、例,4.2 QR分解,1. 利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解 Theorem 设矩阵ACmn ,R(A)=n(列满秩)。则存在非奇异上三角阵R,和矩阵Q,QHQ=E,使得A=QR。,Remark: 这样的分解称之为QR分解。,实施步骤,G-S正交化,单位化,4.2 QR分解,例 P090 例4.2.1 此例中矩阵是列满秩的 例 P091 例4.2.2 此例表明即使矩阵不是列满秩的,也可以用G-S正交化方法,但是其QR分解不是唯一的。,4.3 满秩分解,矩阵的满秩分解 对秩为r 的矩阵AFmn ,存在秩为r的矩阵 B Fmr,CFrn ,使得A=BC为A 的满秩分解。,列满秩,行
3、满秩,已知的结论,满秩分解的实现:向量组最大无关组的求法,例 求矩阵A的满秩分解,矩阵的满秩分解的做法 设ACmn ,R(A)=r, 对A作行初等变换得行最简形H,若H的首1元分别在H的第j1, j2, jr列,取H的前r行所成矩阵为C,取A的j1, j2, jr列所成矩阵为B,则 B Cmr,CCrn ,其秩序均为r,且A=BC。,例 P098 例4.3.2; 例 P098 例4.3.1(此矩阵为列满秩矩阵),4.4 奇异值分解(Singular Value Decomposition),Problem: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: AC mn,酉矩阵UC mm, VC nn ,使得
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- 矩阵 分解
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