第二节直接证明与间接证明.ppt
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1、第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1. 直接证明 (1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法. (2)一般形式: (3)综合法 定义:从 出发,以已知的 、 、 为依据,逐, 本题结论.,逐步,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,已知条件,定义,公理,定理,步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法. 推证过程 . (4)分析法 定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步 ,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法. 推证过程 ,已知条件,结论,结论,已知条件,2. 间接证明 (1)常用的间接证明方法有 、 、 等. (
2、2)反证法的基本步骤,结论,上溯,反证法,同一法,枚举法, 假设命题的 不成立,即假定原结论的反面为真; 从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; 由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.,典例分析,题型一 综合法的应用 【例1】已知ab0,求证: .,证明 ab0,b ,即2b ,进而- -2b, a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b, ,分析 从已知条件和已知不等式入手,推出所要证明的结论.,反设,结论,归谬,已知条件,存真,反设,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发,依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时,必须首先找
3、到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐渐引出结论.,证明:a+b=1, 当且仅当a=b= 时“=”成立.,举一反三,1. 设a0,b0,a+b=1,求证: .,题型二 分析法的应用 【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca. 试证:I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论,宜采用分析法.,证明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S, 故要证I24S, 只需证a2+b2+c2+2
4、S4S, 即a2+b2+c22S(这对于保证结论成立是充分必要的). 欲证上式,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0, 只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb, 即ab+c,ba+c,ca+b, 它们显然成立,因为三角形任一边小于其他两边之和. 故I24S.,学后反思 (1) 应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径. (2) 应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.,2. 若sin +cos =1,求证:sin6+co
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