清华大学微积分高等数学课件第6讲定积分一.ppt
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1、2019/4/15,1,P166 习题6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 复习:P158166,作业,预习:P168174,2019/4/15,2,第十六讲 定积分(一),二、定积分的概念,三、可积性条件与可积类,一、两个典型例子,四、定积分的基本性质,2019/4/15,3,例1 曲边形的面积问题,一、两个典型例子,曲边梯形,2019/4/15,4,(1) 细分:,(2) 取近似:,2019/4/15,5,(4) 取极限:,(3)求和:,2019/4/15,6,例2 变速直线运动的路程问题,细分:,(4) 取极限:,以匀速近似变速,(2)取近
2、似:,(3)求和:,2019/4/15,7,二、定积分的概念,(一)黎曼积分定义:,2019/4/15,8,记作:,积分上限,积分下限,称为积分区间,定积分是 : 积分和式的极限,例1曲边梯形的面积,例2变速直线运动的路程,2019/4/15,9,(二)定积分的几何意义,2019/4/15,10,证,2019/4/15,11,证,2019/4/15,12,定理1:,三、可积性条件与可积函数类,证明思路:反证法。假设 f(x) 在a,b上无界, 则至少在一个子区间上无界,所以黎曼 和式无界,与和式极限存在相矛盾.,定积分作为黎曼和式的极限,其构造十分复杂,因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分
3、,实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性,得到有关可积性的理论。,2019/4/15,13,定理3:,定理4:,定理2:,2019/4/15,14,四、定积分的基本性质,定积分是一种极限,因此其性质与极限 性质密切相关,性质一: 线性性质,性质二:关于区间的可加性,2019/4/15,15,注意1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限,而与积分变量用什麽字母表示无关。即,注意2 定积分的定义中,下限a小于上限b,否则, 做如下规定:,关于区间可加性的推广,2019/4/15,16,性质三:积分的不等式性质,(证明:利用极限的保序性质),性质四:积分的保号性,2019/4/15,17,性质五:积分的不等式性质,注意,性质六:积分的估值性质,2019/4/15,18,性质七:积分中值定理,性质八:广义积分中值定理,2019/4/15,19,平均高度,函数平均值,2019/4/15,20,证,由假设条件,可以证明,2019/4/15,21,2019/4/15,22,例1,2019/4/15,23,线性,可加性,证,2019/4/15,24,解,2019/4/15,25,2019/4/15,26,证 利用估值定理,2019/4/15,27,证,2019/4/15,28,
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