可降阶的二阶微分方程.ppt
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1、,可降阶的二阶微分方程,第六节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该绳索的平衡状态
2、是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,M : 地球质量 m : 物体质量,例.,静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解: 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由,两端积分得,因此有,注意“”号,由于 y =
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