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1、1,第四章 功和能(Work and Energy),4.1 功,4.2 动能定理,4.3 一对力的功,4.4 保守力,4.5 势能(书4.5,4.6,4.7节),4.6 由势能求保守力(书4.8节),4.7 功能原理,机械能守恒定律(书4.9节),4.8 守恒定律的意义(书4.10节),4.9 碰撞(书4.11节),前言,2,前 言,机械能守恒定律。, 功的计算是否依赖参考系? 势能是否与参考系的选择有关? 机械能守恒是否与惯性系的选择有关? 摩擦生热是否与参考系选择有关?,本章讨论力对空间的积累效应, 功、,动能、,势能、,动能定理、,要求:,1.深入理解以上概念,,搞清它们是属于质点、,
2、还是属于系统?,与参考系的选择有无关系?,2.搞清规律的内容、,来源、,对象、,适用条件、,与参考系的关系等。,如:,3,4.1 功(work),功:力和力所作用的质点(或质元)的位移的, 功依赖于参考系; 功是标量,,标量积。,有正、负之分。,4,当质点同时受到几个力的作用时,合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代数和。,功的国际单位:焦耳(J),非国际单位:电子伏(eV),5,例1:弹簧弹力所做的功。,例2:摩擦力的功。,例3:滑雪运动员的质量为m,沿滑雪道下滑了高度h,忽略他所受的摩擦力,求在这一过程中他受的合外力做的功。,注意:分析不同种类的力的做功特点。,6,4.2 动能定理(ki
3、netic energy theorem),一、质点的动能定理,定义动能:,质点的动能定理,(对惯性系),由牛顿第二定律,7,例4:利用动能定理,重解此题,求线摆下角时珠子的速率。,8,二、质点系的动能定理,对质点i,由动能定理:,对质点系的所有质点求和:,注意:,内力虽成对出现,,但内力功的和不一定,为零,(各质点位移不一定相同)。,质点系的动能定理,(对惯性系),9,S(惯性系):,S(质心系):, 克尼希定理,10,4.3 一对力的功,一. 一对力,作用力与反作用力,,:m2相对m1 的,分别作用在两个物体上的大小相等、方向,一对力通常是,但也可不是。,元位移。,称之为 “一对力”。,相
4、反的力,,二. 一对力的功,11,(1)表示初位形,即 m1在A1,m2在A2;,(2)表示末位形,即 m1在B1,m2在B2 。,况下,,1.W对 与参考系选取无关。,说明:,2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。,3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情,一对力的功必为零。,12,例如:,13,4.4 保守力(conservative force),一. 定义,这样的力称为保守力。,若 为保守力,,如果一对力的功与相对移动的路径无关,,而只决定于相互作用物体的始末相对位置,,则:,14,二. 几种保守力,1.万有引力:,任何有心力 都是保守力。,15,2.弹力:,一维运动时,x 对自然长度的增
5、加量, k 弹簧的劲度(stiffness)。,3.重力:,三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如: 摩擦力(耗散力): 一对滑动摩擦力作功恒为负; 爆炸力:作功为正。,16,4.5 势能(potential energy),利用保守力的功与路径无关的特点,可引入,一. 系统的势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,若规定系统在位形(0)的势能为零, 则:,“势能” 的概念。,定义:,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中,,17,说明:,零点的选择与参考系的选择相混淆。,二. 几种势能,1.万有引力势能,令,有,则 C = 0,,1.势能属于相互作用的系统;
6、,2.势能不依赖于参考系的选择,,不要将势能,18,2.重力势能,令,3.弹性势能,令,有,有,19,4.6 由势能求保守力,一. 由势能函数求保守力,所以有:,20,通常 EP 可以是几个坐标的函数,,若,则有:, EP 的梯度(gradient),此时有:,21,二 . 由势能曲线求保守力,例:双原子分子势能曲线,是引力。,是斥力。,则有,22,4.7 功能原理,机械能守恒定律,一. 功能原理(work-energy theorem),对质点系有:,引入系统的机械能:,(积分形式),(微分形式),23,二. 机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanic
7、al energy),在只有保守内力作功时,系统的机械能不变。,即, 机械能守恒定律,显然,孤立的保守系统机械能守恒。,即,保守内力作功是系统势能与动能相互转化,的手段和度量。,(对惯性系),24,三. 普遍的能量守恒定律,如果考虑各种物理现象,计及各种能量, 则 一个孤立系统不管经历何种变化, 系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律,机械运动范围内的体现。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,25,四. 质心参考系下的功能关系,假定保守系统。,对质点i,在系统从初态A到,末状态B的过程中,由动能定理给出:,对所有质点求和:,26,由伽利略位移变换关系和柯尼希定理,有:,27,内能
8、:系统的内动能和系统内各质点间的势能的总和称为系统的内能。,质心参考系下的功能关系。,此结论和质心系是否为惯性系无关。,对于非保守系统:,28,四.守恒定律联合应用举例,例1,已知:m = 0.2kg, M=2kg, v = 4.9m/s 。,求:hmax = ?,解:,m + M + 地球:,W外= 0,W内非 = 0 , 故机械能守恒。,当 h= h max 时,M 与 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0,有:,m + M:,水平方向F外= 0,故水平方向动量守恒,mv =(m+M)V (2),29,分析结果的合理性:, 单位对。,代入数据:,正确。,30,例2:用一个轻弹簧把一
9、个金属盘悬挂起来,这时弹簧伸长了l1=10cm。一个质量和盘相同的泥球,从高于盘h=30cm处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离l2。,31,例3分析荡秋千原理:,m表示人的质心, 12:人迅速蹲下,使有效,摆长 由 变为l ;, 23:对(人+地球)系统,,(1),角动量守恒:,(2), 45:对(人+地球)系统,机械能守恒:,(3),只有重力作功,机械能守恒:,32,(1)、(2)、(3)联立解得:,人越摆越高,能量从哪儿来?,33,4.8 守恒定律的意义(自学),物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究, 这是因为: 第一,从方法论上看:,自然界中许多物理量,如动量、,角动量、,机
10、械能、,电荷、,质量等等,,都具有相应的守恒定律。,利用守恒定律研究问题,,低速均适用。,而对系统始、末态下结论,可避开过程的细节,,(特点、优点)。,第二,从适用性来看:,守恒定律适用范围广,,宏观、,微观、,高速、,34,第三,从认识世界来看:,守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中,若发现某守恒定律不成立, 则往往作以下考虑: (1)寻找被忽略的因素,从而使守恒定律成立, 如中微子的发现。 (2)引入新概念,使守恒定律更普遍化(补救)。 (3)当无法补救时,则宣布该守恒定律不成立, 如弱相互作用宇称(parity)不守恒。,35,不论哪种情况,都是对自然界的认识上了新,都能对
11、人类认识自然起到巨大的推动作用。,第四,从本质上看: 守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。 对称 在某种“变换”下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性: 动量守恒相应于空间平移的对称性; 能量守恒相应于时间平移的对称性; 角动量守恒相应于空间转动的对称性; ,台阶。,因此守恒定律的发现、,推广、,甚至否定,,36, 4.9 碰撞(Collision)(自学),三种碰撞:,完全弹性碰撞,完全非弹性碰撞,非完全弹性碰撞,弹弓效应,37,4.10 两体问题(不作要求),两物体在相互作用下的运动问题称两体问题,,这类问题可简化为单体问题处理。,如: 粒子被原子核散射,,设质点间的作用力为中心
12、力,,(1),(2),行星绕太阳运动等。,38,(3),这里固结于 m2 的平动参考系虽然不是惯性系, 但只 要将m1用代替,则牛顿第二定律就适用。,在中心力作用下质点 m1 相对于 m2 的运动,,39,在两体问题中,,故动量和能量的定理也都适用。,由于把另一质点的质量改为约化质量,参考系来说,,对固结于其中一个质点的平动,时牛顿定律成立,,40,例,k为常量。,已知:质子间相互作用电势能为,求:二者能达到的最近距离 rmin,分别以速率v0 和 2v0 相向运动。,两个质子从相距很远处,解:,两体化单体问题。,选其中的一个质子为原点,,则能量守恒关系为,41,Homework,习题: 4.
13、2 4.15,第四章结束,42,讨论题,第1题:,(1)f 对M的功 = -( f 对m的功),答:,错。,( m与M间有相对位移),答:,错。,(2)F 的功 + f 的功 = m获得的动能,( F与 f 是作用在M上而非m上的),43,(3)F 的功 + f 的功 = 0,对。,答:,(M匀速,动能不变),(4)F 的功 = m获得的动能,错。,答:,( F是作用在M上的),问:,解:,(动能定理),44,指导1.4 三 . 1,第2题:,在 S 和 S 中(小球+地球)的机械能是否守恒?,只讨论:,S:,只有保守内力作功,机械能守恒。,S:,机械能不守恒。,45,指导1.4 三 . 2,
14、第3题:,判断下列说法的正误。,(1)不受外力作用的系统,其动量和动能 必然同时守恒。,错。,答:,(若W内 0,则 Ek 不守恒),(2)内力都是保守力的系统,当它所受的合外 力为零时,它的机械能必然守恒。,错。,答:,(外力功的和不一定为零),(3)只有保守内力的系统,它的动量和机械能 必然都守恒。,答:,对。,(只有F保内 W外 = 0,W内非 = 0),46,已知:一劲度系数为 k 的弹簧, 一端与质量为M的水平薄板相连接, 另一端与地面固定。,求:泥球与平板一起向下运 动的最大位移 h。,第4题:,指导1.4 四 . 3,一质量为 m 的泥球自板上方 高H处自由下落到板上。,如图示,
15、,47,过程1初态,过程1末态,过程2(碰撞)初、末态,过程3初态,过程3末态,解:,所研究的过程应分为三段分别讨论:,过程1:泥球自由下落过程,过程2:泥球与板碰撞,过程3:泥球与板一起运动,48,过程1:泥球自由下落,系统:“泥球+地球”,条件: 只有保守内力作功, 机械能守恒。,选重力势能零点:,平板初始位置 EP 重 =0,EP 重 =0,49,过程 2:泥球与板发生完全非弹性碰撞,系统:“泥球+板”,条件:外力 重力、弹力,外力 内力 ,动量守恒,过程 3:泥球与板一起向下运动到最大位移,系统:“泥球+板+弹簧+地球”,条件:只有保守力作功,机械能守恒,内力 碰撞力,50,选弹性势能零点:,平板初始位置 EP 弹 =0,再利用,(2)(4)联立,得,有,51,扩展,若弹簧下端连一质量为m0 的物体,要 使弹簧反弹时,恰好能将该物提起来。,求:泥球自由下落的高度 H 应等于多大?,设要把物体提起来,,过程1:,则,弹簧的伸长量为a,,过程2:,52,过程3:,初态泥球与板开始一起下降的时刻,末态反弹后刚要提起物体的时刻,系统机械能守恒:,将 x0 与(1)(3) 代入(4),得,
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