离散型随机变数.ppt
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1、離散型隨機變數,隨機變數 離散型隨機變數的機率分布 期望值 二項分布 超幾何分布 卜瓦松分布,隨機變數,定義(隨機變數) 隨機變數(random variable)是一種函數對應,把樣本空間中每一個樣本點對應到一個數。,例: 連續擲一枚硬幣三次,令H代表正面、T代表反面,則樣本空間為 S =HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT,HHH3, HHT2, TTH1, TTT0 像這樣的一種函數對應,就叫做隨機變數。,如果我們關心的是擲三次所得到的正面總數,則樣本空間中每一個樣本點都會對應一個數字。,隨機變數類型,離散型隨機變數 選修課程修課人數 服務多少位顧
2、客 可能值都是非負整數,非負整數0、1、2、當中的任兩個數之間都有間隔 連續型隨機變數 河川或水庫的可能水位 可能值會連起來,沒有間隔,因此不能用一個個單獨的值代表,而必須用區間表示,隨機變數,定義 若隨機變數的可能值是分散開的,叫做離散型隨機變數(discrete random variable); 若可能值是連起來的,必須用區間表示,叫做連續型隨機變數(continuous random variable)。,註: 離散型隨機變數會考慮單獨一點的機率 連續型隨機變數則只考慮落在區間的機率,因為任何單獨一點的機率都是0。,離散型隨機變數的機率分布,機率函數,定義(機率函數) 設X為離散型隨機
3、變數,其機率函數(probability function, p.f.)或機率密度函數(probability density function, p.d.f.)定義為 p(x) =PX =x,註: 機率函數用在離散型隨機變數,機率密度函數用在連續型隨機變數。 通常機率質量函數(probability mass function, p.m.f.)用在離散型隨機變數。,離散型隨機變數的機率函數,離散型隨機變數的機率函數p(x)必滿足下列條件: 1. p(x)0對所有x成立。 2.,例4.2-1 連續擲一枚均勻硬幣三次,令X代表擲出之正面總數,試求X之機率分布。,解:,X之機率分布為,期望值與變異
4、數,期望值,定義(期望值) 若離散型隨機變數X的機率函數為p(x),則X的期望值(expected value, expectation或mean)為,例4.3-1 (續例4.2-3)試求小胖實際需要付的金額(元)之期望值。,解:,期望值為86.25元的直觀意義大約為: 如果小胖重複消費許多次,每次都花費100元,抽獎之後可能有時要付70元,有時要付95元,但許多次的平均,會接近86.25元。,期望值,定義(期望值) 若離散型隨機變數X的機率函數為p(x),而g為一函數,則g(X)仍是離散型隨機變數,其期望值為,例4.3-3 設有一遊戲規則如下:參加者可擲一均勻硬幣三次,然後可獲得不同金額的獎
5、金,獎金等於正面數的平方再加上1(以元為單位),而每玩一次要先繳4元。計算玩此項遊戲一次所得金額之期望值,以判斷此遊戲是否公平。,解:,X之機率分布為,X的線性函數之期望值,定理(X的線性函數之期望值) E(aX+b)=aE(X)+b,a,b為常數,以上所列公式可以推廣應用到更多項相加的情況,例如 E(aX2+bX+c)=aE(X2)+bE(X)+c,例4.3-4 (續例4.3-3)同樣的遊戲,如果獎金金額改為h(X)=2X2-3X+1,X代表正面總數,則玩此項遊戲一次所得金額的期望值是多少?,解:,變異數,定義(變異數) 隨機變數X的變異數(variance)為 2 =V(X) =E(X-)
6、2 ,標準差(standard deviation)為 。,註: 2 =V(X) =E(X-)2=E(X2)- 2,例4.3-5 設X為離散型隨機變數,機率函數如下,試求X之變異數及標準差:,解:,X之期望值:,X的線性函數之變異數,定理(X的線性函數之變異數) V(aX+b)=a2V(X),例4.3-7 (續例4.3-5)設X為離散型隨機變數,機率函數如下,試求2X -3之變異數及標準差:,解:,變異數性質,因為(X-)20,所以變異數2 = E(X-)2的值必定是非負的。 若2 = E(X-)2=0,則代表X的值沒有任何分散的情況也就是,X等於常數,有人稱這種隨機變數叫做退化的隨機變數(d
7、egenerate random variable)。嚴格說來,這樣的X已不夠資格叫做隨機變數了,因為它的值永遠都一樣,毫無變化。,二項分布,二項分布,隨機變數X若符合以下描述,即稱為二項隨機變數(binomial random variable),其分布稱為二項分布(binomial distribution),參數為n及p,以符號XB(n,p)表示: 1. 同一隨機試驗重複做n次。 2. 每一次試驗的結果只有兩種可能:成功(S)或失敗(F)。 3. 每一次試驗的成功機率相同,用p代表。 4. 各次試驗之間相互獨立。 5. X等於n次試驗的成功總次數。 符合以上第1項到第4項描述的試驗,便叫
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