第2章插值法.ppt
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1、第2章 插 值 法,插值法的一种古老的数学方法,它来自生产实践. 早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值,隋朝刘焯(公元6世纪)将等距节点二次插值应用于天文计算. 但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的,牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果. 近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在理论上得到进一步发展,尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条(spline)插值,更获得广泛应用,称为计算机图形学的基础.,2.1.1 插值问题的提出,2.1 引 言,许多实际问题都用函数 y= f(x)来表示某种内在规律的关系,
2、其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的. 虽然f(x)在某个区间a , b 上是存在的,有的还是连续的,但却只能给出a , b 上一系列点的xi函数值yi=f(xi) (i=0,1,.,n),这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也造一个函数表,如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.,为了研究函数的变化规律,往往需要求出不在表上的函数值,因此,我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 y= f(x)的特性,又便于计算的简单函数P(x),用P(x)近似f(x). 通常选一类较简单的函数(如代数多项式或分段代数多项式)作为P(x),并使P(xi
3、)=f(xi)对i=0,1,.,n成立. 这样确定的P(x)就是我们希望得到的插值函数. 例如,在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件,根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi, yi)(i=0,1,.,n),加工时为控制每步走刀方向及步数,就要算出零件外形曲线其它点的函数值,才能加工出外表光滑的零件,这就是求插值函数的问题. 下面我们给出有关插值法的定义.,定义 设y= f(x)在区间a , b 上有定义,且已知在点ax0x1xnb上的值y0,y1,yn,若存在一简单函数P(x),使,P(xi)=yi (i=0,1, ., n) (1.1),其中ai为实数,就称P(x)为插值多项式
4、,相应的插值法称为多项式插值. 若P(x)为分段的多项式,就称为分段插值. 若P(x)为三角多项式,就称为三角插值. 本章只讨论多项式插值与分段插值.,成立,就称P(x)为f(x)的插值函数,点x0,x1,xn称为插值节点,包含插值节点的区间a , b称为插值区间,求插值函数P(x)的方法称为插值法. 若P(x)是次数不超过n的代数多项式,即,P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (1.2),从几何上看,插值法就是求曲线 y=P(x), 使其通过给定的n+1个点(xi, yi), i=0,1, ,n,并用它近似已知曲线y=f(x),见下图.,2.1.2 多项式插值,设在区间a , b
5、上给定n+1个点,ax0x1xnb,上的函数值yi=f(xi), (i=0,1,n),求次数不超过n的多项式(1.2),使,P(xi)=yi, i=0,1,n. (1.3),由此可得到关于系数a0 ,a1,an的n+1元线性方程组,此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式:,因此,线性方程组 (1.4) 的解a0 ,a1,an存在且唯一,于是有下面结论.,定理1 满足插值条件(1.3)的插值多项式P(x)是存在唯一的.,虽然直接求解方程组(1.4)就可得到插值多项式P(x),但这是求插值多项式最复杂的方法,一般是不用的. 下面两节将给出构
6、造插值多项式更简单的方法.,约瑟夫拉格朗日,全名约瑟夫路易斯拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange 17351813)法国数学家、物理学家。,Lagrange 法1736-1813,2.2 拉格朗日插值,1736年1月25日生于意大利都灵,1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出。,2.2.1 线性插值与抛物线插值,对给定的插值点为求得形如(1.2)式的插值多项式可以有不同方法,下面先讨论n=1的简单情形,假定给定一个区间xk, xk+1 及端点函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性
7、插值多项式L1(x),使它满足,L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1.,y=L1(x)的几何意义就是通过两点(xk, yk)与(xk+1, yk+1)的直线,如图所示,L1(x)的表达式可由几何意义直接给出,由两点式看出,L1(x)是由两个线性函数,(点斜式),(两点式),(2.1),(2.2),线性组合得到的,其系数分别为yk及yk+1,即,显然,lk(x)及lk+1(x)也是线性插值多项式,在节点xk及xk+1上分别满足条件,(2.3),我们称函数lk(x)及lk+1(x)为线性插值基函数,它们的图形为,插值基函数的特点:,我们知道y=L2(x)在几何上就是通过三点 (xk-1
8、, yk-1), (xk, yk), (xk+1, yk+1)的抛物线,为了求出L2(x)的表达式,可采用基函数方法,此时基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x)是二次函数,且在节点上分别满足条件,下面讨论n=2的情况,假定插值节点为xk-1, xk, xk+1,要求二次插值多项式L2(x),使它满足,L2(xk-1)=yk-1, L2(xk)=yk, L2(xk+1)=yk+1.,(2.4),满足条件(2.4)的插值基函数是很容易求出的,例如求lk-1(x),因它有两个零点xk及xk+1,故可表示为,其中A为待定系数,可由条件lk-1(xk-1)=1定出,于是,同理可得,二次插值
9、基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x)在区间xk-1, xk+1上的图形见下图.,利用二次插值基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x),立即得到二次插值多项式,(2.5),(2.5),显然,它满足条件L2(xj)=yj (j=k-1, k, k+1). 将上面求得的基函数lk-1(x), lk(x), lk+1(x)代入(2.5)式,得,2.2.2 拉格朗日插值多项式,上面我们对n=1及n=2的情况,得到了一次与二次插值多项式L1(x)及L2(x),它们分别由(2.3)式与(2.5)式表示,这种用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形. 下面讨论如何构造通过n +1个
10、节点x0x1xn的n次插值多项式Ln(x),假设它满足条件,Ln(xj)=yj, j=0,1, ,n. (2.6),为了构造Ln(x),我们先定义n次插值基函数.,定义1 若n次多项式lj(x) (j=0,1,n)在n +1个节点x0x1xn上满足条件,(2.7),就称这n +1个n次多项式l0(x), l1(x), , ln(x)在为节点x0, x1, , xn上的n次插值基函数.,对n=1及n=2时的情况前面已经讨论. 用类似的推导方法,可得到n次插值基函数为,(2.8),显然它满足条件(2.7). 于是,满足条件(2.6)的插值多项式Ln(x)可表示为,由lk(x)的定义,知,形如(2.
11、9)式的插值多项式Ln(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式,而(2.3)式与(2.5)式是当n=1和n=2时的特殊情况.,若引入记号,容易求得,于是公式(2.9)可改写成,注意,n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式,特殊情况下次数可能小于n. 例如通过三点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的二次插值多项式L2(x),如果三点共线,则y=L2(x)就是一直线,而不是抛物线,这时L2(x)是一次多项式.,注意 : (1) 对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;,(2) 插值基函数lk(x) 仅由插值节点xk (k=0,1, ,n)确定, 与被插函
12、数 f(x)无关;,(3) 插值基函数lk(x) 的顺序与插值节点xk (k=0,1, ,n) 的顺序一致.,所以,例1 已知 用线性插值(即一次插值多项式)求 的近似值。,插值多项式为,( ),例2 求过点(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).,解 以,以为节点的,基函数分别为:,则拉格朗日的三次插值多项式为,若在a, b上用Ln(x)近似f (x),则其截断误差为Rn(x)=f (x) -Ln(x),也称为插值多项式的余项,也叫n次Lagrange插值多项式的余项. 关于插值余项估计有以下定理.,2.2.3 插值余项与误差估计,定理2
13、设f(n)(x)在a ,b上连续,f(n+1)(x)在(a, b)内存在,节点ax0x1xnb,Ln(x)是满足条件(2.6)的插值多项式,则对任何xa, b,插值余项,这里(a, b)且依赖于x,n+1(x)由(2.10)式所定义.,证 由插值条件和n+1(x) 的定义, 当x=xk 时 , 式子显然成立, 并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明x0 , x1, ,xn 都是函数n+1(x) 的零点, 从而 Rn(x) 可表示为,其中K(x)是与x有关的待定函数.,对于任意固定的xa,b, xxk ,构造自变量 t 的辅助函数,由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk
14、)=yk ( k=0,1,n ),以及,可知,x0 , x1, , xn 和 x 是(t) 在区间a,b上的 n+2个互异零点, 因此根据罗尔 (Rolle) 定理, 至少存在一点 =(x)(a, b),使,即,所以,于是得到插值多项式的估计误差限,或,当n=1时,线性插值的余项为,当n=2时,抛物线插值的余项为,利用余项表达式(2.12),当 f(x)=xk (kn)时,由于f (n+1)(x)=0 ,于是有,由此得,特别当k=0时,有,(2.17)式和(2.18)式也是插值基函数的性质,利用它们还可以求一些和式的值.,利用余项表达式(2.12)式还可知,若被插值函数f(x)Hn(Hn代表次
15、数小于等于n的多项式集合),由于f(n+1)(x)=0,故Rn(x)=f(x)-Ln(x)=0,即它的插值多项式Ln(x)=f(x).,例1 证明 其中li(x)是关于点x0 , x1, , x5的插值基函数.,证明 利用公式(2.17)可得,例2 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.,解 由题意取x0=0.32, y0=0.314567, x1=0.34, y1=0.333487, x2=0.36, y2=0.352274,,用线性插值计算,由于0.3367介
16、于之间x0, x1,故取x0, x1进行计算,由公式(2.1)得,由(2.15)式得其截断误差,其中 因,可取,于是,用抛物线插值计算sin0.3367,由公式(2.5)得,这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样,这说明查表时用二次插值精度已相当高了.,由(2.14)式得其截断误差限,其中,于是,例3 设f(x)C2a, b,试证:,证明 通过两点(a, f(a)及(b, f(b)的线性插值为,其中 其中C2a, b表示在区间a, b上二阶导数连续的函数空间.,于是,牛顿(Isacc Newton,16421727)是英国数学家、天文学家和物理学家, 1642年12月25日出生于英国北部林
17、肯郡埃尔斯索普村。,2.3 均差与牛顿插值多项式,27岁的牛顿当了数学教授,1703年任英国皇家学会会长,1706年受英国女王安娜封爵, 1727年3月31日,牛顿在伦敦病逝,享年84岁。,Newton 英1642-1727,2.3.1 插值多项式的逐次生成,利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为重要. 但当插值节点增减时,计算要全部重新计算,甚为不便,为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法,先考察的n=1情形,此时线性插值多项式记为P1(x), 它满足条件P1(x0)=f(x0), P1(x1)=f(x1),用(2.1)式的点斜式表示为,它可看
18、成是零次多项式的修正P0(x)=f(x0),即,其中 是函数f(x)的差商. 再考察三个节点的二次插值P2(x),它满足条件,可表示为,显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令P2(x2)=f(x2),则得,系数a2是函数f 的“差商的差商”. 一般情况已知f在插值点上xi(i=0,1, ,n)的值为f(xi)(i=0,1, ,n),要求次插值多项式满足条件,则Pn(x)可表示为,其中a0,a1, an为待定系数,可由条件(3.1)确定. 与拉格朗日插值不同,这里的Pn(x)是由基函数1,x-x0, ,(x-x0)(x-xn-1)逐次递推得到的. 为了给出系数ai
19、(i=0,1, ,n)的表达式,需引进均差(即差商)的定义.,2.3.2 均差及其性质,定义2 称 为函数 f (x)关于点x0, xk的一阶均差. 一阶均差的均差(差商),称为函数f (x)关于点x0, x1, xk 的二阶均差. 一般地, 称,一般f(xk)称为f(x) 在点xk的零阶均差,记作fxk.,均差有如下的基本性质:,(1) k阶均差可表示为函数值 f(x0), f(x1),f(xk)的线性组合,即,(3.4),可用归纳法证明此性质. 这个性质也表明均差与节点的排列次序无关,称为均差的对称性,即,fx0 , x1 , x2 , ., xk= fx1 , x0 , x2 , .,
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