课题34基本不等式.ppt
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1、课题: 3.4基本不等式,第一课时,1.课题导入,基本不等式,的几何背景:,如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?,2.讲授新课,1探究图形中的不等关系,由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:,探究图形变化过程,当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有,2得到结论:,3思考:你能给出它的证明吗?,证明:因为,特别的,如果a0,b0,我们用 分别代替a、b ,可得 通常我们把上式写作,41)认识基本不等式
2、,只要证,要证(2),只要证,要证(3),只要证,显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。,用分析法证明:,2)从不等式的性质推导基本不等式,3、例题讲解,例1 已知x、y都是正数,求证: (1) 2;,分析:在运用定理: 时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.,解:x,y都是正数, 0, 0,=2,(当且仅当x=y时,式中取等号。),(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,解:x,y都是正数, xy2 0, x20, y20,x30,y30,x2y22 0,x3y32 0,(xy)(x2y2)(x3y3),x3y3,
3、即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.,2 2 2,(当且仅当x=y时,式中取等号),(当且仅当x=y时,式中取等号),4.随堂练习,1.已知a、b、c都是正数,求证 (ab)(bc)(ca)abc,解:a,b,c都是正数,bc2 0,ca2 0,(ab)(bc)(ca),即(ab)(bc)(ca)abc.,=8abc,ab2 0,2 2 2,(当且仅当a=b=c时,上式取等号),本节课,我们学习了重要不等式a2b22ab;两正数a、b的算术平均数( ), 几何平均数( )及它们的关系( ).它们成立的条件: (1)、前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时,以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 。,5.课时小结,5.课外作业 课本第113页习题A组的第1题,
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