第3章Z变换ppt课件.ppt
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1、第三章 Z变换 Chapter 3 The Z-Transform, 3.1 z 变换 3.2 z 反变换 3.3 z 变换的性质,本章的主要内容,1、掌握z变换及其收敛域 2、会运用任意方法求z反变换 3、理解z变换的主要性质,第三章作业 习题3-1 (1)(2)(4) 习题3-2 (1) 采用长除法、围线积分法与部分分式法求取 习题3-4,1、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能收敛 2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一样,Z变换能把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程,极大地简化了求解过程。,为什么要进行Z变换?, 3.1 Z 变换 Section 3.1 The Z-Tran
2、sform,一个序列x(n)的Z变换定义为 (3-1) Zx(n)X(z) (3-2) 称为Z变换算子。,3.1 Z 变换,Z变换算子就是将序列x(n)转换为函数X(z), 根据式(3-1),只有当幂级数收敛时,X(z)才有 意义。,3.1 Z 变换,任意给定的序列x(n),使其Z变换X(z)收敛的所 有z值的集合称为X(z)的收敛域 (ROC,Region of Convergence)。根据级数理论,式(3-1)中级数收敛的充要条件是 (3-3),3.1 Z 变换,如果X(z)在收敛域内是一个有理函数, (3-4) 当X(z)=0,即P(z)=0的z称为X(z)的零点; 当X(z)为无穷大
3、,即Q(z)=0的z称为X(z)的极点, 另外,零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。,3.1.1有限长序列的Z变换,有限长序列,是指在有限区间n1nn2内,序 列具有非零的有限值,在此区间外,序列值都为 零。 (3-5) 若X(z)的每一项是有界的,级数就收敛,即 |x(n)zn| ,n1nn2,若x(n)是有界的, 即要求|z n| ,n1nn2。,3.1.1有限长序列的Z变换,在0|z| 上,z都满足此条件,即收敛域至少 是在除了z=0及z 之外的开域(0,)内,即“有 限z平面”。如图3-1中青色显示,“x”表示极点。 在n1,n2的特殊选择下,ROC还可进一步扩大: (1) 0
4、|z|,n10; (2) 0|z|,n20,3.1.1有限长序列的Z变换,图3-1 有限长序列及其收敛域图(n10;z0,z 除外),3.1.2 右边序列的Z变换,当nn1时,x(n)有非零值,在nn1时,x(n) 0,即右边序列。 (3-6) 有限长序列的Z变换的收敛域为“有限Z平面”,而 z的负幂级数存在一个收敛半径Rx,级数在以坐 标原点为中心,以Rx为半径的圆之外区域内任 何一点均绝对收敛。,3.1.2 右边序列的Z变换,Rx是收敛域的最小半径,X(z)的收敛域为ROC: Rx |z| ,如图3-2“灰色”所示。,3.1.2 右边序列的Z变换,图3-2 右边序列及其收敛域(n10,z=
5、除外),3.1.3 因果序列的Z变换,当n0时x(n)有非零值,n0时,x(n)=0,即 n10时的右边序列,称此为因果序列。 (3-7) 因果序列的特征是:在|z| 处Z变换X(z)收敛。,3.1.4 左边序列的Z变换,当nn2时,x(n)有非零值,而n n2时,x(n)0,即左边序列。 (3-8) 有限长序列的Z变换收敛域为有限z平面,而正幂 级数,存在一收敛半径Rx+,级数在以坐标原点 为中心,以Rx+为半径的圆内任何点绝对收敛。,3.1.4 左边序列的Z变换,如果Rx+为收敛域的最大半径,那么, 左边序列Z变换的收敛域为ROC:0|z| Rx+, 如图3-3“灰色”所示。如果n20,那
6、么,式(3-8) 右端不存在第二项,这时,收敛域应包括z0, 即|z| Rx+。,3.1.4 左边序列的Z变换,图3-3 左边序列及其收敛域(n20 ,z=0除外),3.1.5 双边序列的Z变换,当n为任意(正、负、零)值时,x(n)都有非零的 值,即为双边序列,可将其看成一个右边序列和 一个左边序列之和,即 (3-9),3.1.5 双边序列的Z变换,双边序列的Z变换收敛域 ROC:Rx|z|Rx+, 这是一个简单的环状区域,如图3-4所示。,3.1.5 双边序列的Z变换,图3-4 双边序列及其收敛域,例题3-1,求序列x(n)(n)的Z变换X(z)及其ROC。 解:这是n1n2=0时的有限长
7、序列,且 故收敛域应是整个闭平面,即 ROC:0|z| 。如图3-5。,例题3-1,图3-5 (n)的Z变换收敛域,例题3-2,求左边指数序列x(n)b u(n1)的Z变换X(z)及其ROC。 解:左边序列的Z变换X(z)为,例题3-2,这是一个无穷项的等比级数求和,为了使X(z)收 敛,必须要求|z/b|1,即|z|b|,由此得到 X(z)的闭合表达式 (3-10) ROC:|z|b|。X(z)在z=b处有一极点,收敛域 ROC为极点所在圆|z|b|的内部,在收敛域内 X(z)为解析函数,不能有极点,如所示图3-6。,例题3-2,图3-6 x(n)b u(n1)的收敛域,例题3-3,求右边指
8、数序列x(n)=a u(n)的Z变换X(z)及其ROC。 解:x(n)实际上为因果序列, Z变换X(z)为 这也是一个无穷项的等比级数求和,为了使X(z) 收敛,必须要求|az1|1,由此得到X(z)闭合,例题3-3,(接上)表达式 (3-11) 由于 ,故在z=a处极点,ROC为极点所 在圆|z|a|的外部,在收敛域内X(z)为解析函 数,不能有极点,见图3-7。,例题3-3,由于又是因果序列,所以z 处也属收敛域。 若a=1时,x(n)为阶跃序列,其Z变换为:,例题3-3,图3-7 x(n)=au(n)的收敛域,例题3-4,求x(n)=au(n) bu(n1)的Z变换X(z)及其ROC。
9、解:这是一个双边序列,,例题3-4,ROC: |a| |z| |b| 见图3-8。若令a = 1/3,b=1/2,则,例题3-4,ROC是环形域 1/3|z| 1/2, 如图3-9所示。 其中“”表示 零点。,图3-8 au(n)bu(n1)的收敛域,例题3-4,图3-9 a = 1/3,b=1/2时的双边序列与X(z)的收敛域和相应的零极点分布,例题3-5,求有限长序列x(n)=aRN(n)的Z变换及其ROC。 解:x(n)=aRN(n)的Z变换为,例题3-5,ROC由满足 的z值来决定。 |a|和z0。 ROC除坐标原点外包括整个平面。 设N=10,a为实数且位于0和1之间,这时的零极 点
10、见图3-10所示。即 Zk=aej(2 k/N),k=0,1,2,3,N1 k=0时的零点,抵消了z=a的极点。,例题3-5,图3-10 aRN(n)的Z变换收敛域 (z0)和相应的零极点分布(注:N=10,0a1),表3-1 几种序列的Z变换,几种序列的Z变换,几种序列的Z变换,几种序列的Z变换,# 3.2 Z 反变换 Section 3.2 Inverse Z-Transform,所谓Z反变换就是从给定的Z变换闭合表达式 X(z)中还原出原序列x(n)。 x(n) Z-1X(z) (3-12) 根据式(3-1),可以看出,这实质上是求X(z)的幂 级数展开式。 主要方法:观察法,围线积分法
11、, 部分分式法,幂级数展开法,3.2.1 观察法,根据一些常用的变换对,可以直接写出其Z反变 换形式, 如在上节例 3-2中求序列x(n)=au(n)的 Z变换,应用如下的变换对,就可以直接得到其Z 变换: (3-13),3.2.1 观察法,如 就可以直接联想到式(3-13)的变换对,与该变换 相联系的序列是 x(n)=(1/2)u(n)。 如果ROC变为|z|1/2,求得序列为 x(n)= (1/2)u(n1) 在应用此法时,要熟练掌握表3-1所列Z变换对。,3.2.2 围线积分法,依据复变函数理论,若函数X(z)在Z平面上的环状 区域Rx|z|Rx+(0Rx, Rx+)内是解析, X(z)
12、可以展成罗朗(Laurent)级数, 即 (3-14) 而 (3-15),3.2.2 围线积分法,C: X(z)的环状收敛域内环 绕坐标原点的一简单闭合 曲线; C+: 沿此闭合曲线的反时针方向,即曲线的正向; C-: 沿闭合曲线的顺时针方向。如图3-11所示。,图3-11 围线积分的路径,3.2.2 围线积分法,x(n)就是罗朗级数的系数cn,式(3-15)可写成 (3-16) 式(3-16)就是围线积分的Z反变换公式。,根据留数定理,如果函数G(z)X(z)z n-1 在z平 面内沿闭合曲线C上连续,且C围成的区域内有K 个有限极点Zk,对函数G(z)的围线积分可以写成 (3-17) 其中
13、 表示函数G(z)在点zZk处的留数。,3.2.2 围线积分法,3.2.2 围线积分法,如果积分式(3-16)沿闭合曲线C顺时针方向(C) 进行积分,并假设C围成的区域内有M个有限极 点Zm(即C以外的区域),知 (3-18) (3-19),3.2.2 围线积分法,(3-20) 只要G(z)=X(z)zn-1在z= 有二阶或二阶以上零 点,即要求分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶 次高二阶或二阶以上,则式(3-20)就成立。,3.2.2 围线积分法,将式(3-17)及式(3-19)分别代入式(3-16),可得 (3-21a) (3-21b) 应用(3-21b)式时,必须满足X(z)zn-1=
14、G(z)的分母多项式z 的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。,3.2.2 围线积分法,设Zk是G(z)=X(z)z n-1在Z平面上闭合曲线C内的单 (一阶)极点, (3-22) (3-23),如果Zk是X(z)z n-1的多重(l 阶)极点,,3.2.2 围线积分法,在实际计算积分时,合理选用式(3-21a)、式(3-21b)。: 当n大于某个值时,函数G(z)=X(z)z n-1 在闭合曲线C的外部可能有多重极点,选择 C的内部极点来求留数; 如果当n小于某个值时,选择C外部的极 点来求留数。,例题3-6,求 的Z反变换x(n) 解:设 C为X(z)的收敛域(|z|1/2)内的闭合
15、曲线,如图3-12所示。现在来讨论极点在闭合曲线C内、外部的分布情况以及极点的阶数大小,以便选择式(3-21a)还是式(3-21b)来计算留数。,例题3-6,当n1时,由于函 数G(z)在闭合曲线C 内有两个一阶极点z1 1/4和z21/2(单 极点),所以利用围 线C内部的极点求留 数比较方便,故选择 式(3-21a) ,得,图3-12 X(z)的收敛域与闭合曲线C,例题3-6,例题3-6,当n2时,函数G(z)在闭合曲线C的外部没有 极点,而在闭合曲线C内部除了有一阶极点z1 1/4和z21/2外,还有z=0处(n+1)阶极点,这 样沿正方向C+积分不方便。观察闭合曲线C外部 的极点分布情
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