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1、如果积分区域 D 为:,其中函数 、 在区间 上连续.,2 Evaluation of Double Integral 一、 Double Integral in Rectangular Coordinates,X型区域,X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,根据二重积分的几何意义,当 时,D,如果积分区域 D 为:,Y型区域,Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的二次积分法仍然有效 .,由于,说明: (1) 若积分区域
2、既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,Eg.1,注意两种积分次序的 计算效果!,Sol.1 将D看作X型区域, 则,Sol.2 将D看作Y型区域, 则,Eg.2 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,Sol. 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,Eg.3,Sol.,X-型,Eg.4,Sol.,积不出的积分,无法计算。,由以上几例可见,为了使二重积分的计算较为简便,究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定,同时还要兼顾被积函数的特点,看被积函数对哪一个
3、变量较容易积分,总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,Eg.5 交换下列积分顺序,Sol. 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,Sol. 积分域由两部分组成:,D1,D2,视为Y型区域 , 则,Eg.7,Sol.,Sol.,Sol.,化二重积分为二次积分时选择积分次序的重 要性,有些题目两种积分次序在计算上难易程度差 别不大,有些题目在计算上差别很大,甚至有些题 目对一种次序能积出来,而对另一种次序却积不出 来.,另外交换二次积分的次序:先由二次积分找 出二重积分的积分区域,画出积分区域,再交换积 分次序,写出另一种次序下的二次积分.,以
4、上各例说明,性质: 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时,在 D 上,在闭区域上连续,域 D 关于x 轴,则,则,仍有类似结果.,在第一象限部分, 则有,对称 ,Eg.10 计算,其中D 由,所围成.,Sol. 令,(如图所示),显然,Eg.11 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,Sol. 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,Sol.,曲面围成的立体如图.,二重积分在直角坐标下的计算公式,(在积分中要正确选择积分次序),小结,Y型,X型,思考与练习,1. 设,且,求,解:,
5、交换积分顺序后, x , y互换,2,解,先去掉绝对值符号,如图,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,3. 计算二重积分,解:积分域如图,其中,D由直线,围成 .,证明,证:左端,5.,证:左端,练 习 题,练习题答案,二、 Double Integral in Polar Coordinates,设 D :,则,若 f 1 则可求得D 的面积,特别,若D:,则,D:,进一步,若,则,Sol.,Eg.2 计算,其中,Sol. 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得,故式成立 .,Sol.,Sol.,Sol.,A,Eg.6 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,Sol. 设,由对称性可知,二重积分在极坐标下的计算公式,(在积分中注意使用对称性),小结,1. 计算二重积分,其中,D为圆域,解: 利用对称性.,思考与练习,2.,解,练 习 题,练习题答案,
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