第3章多维随机变量及其分布.ppt
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1、第三章 随机向量,一. 随机向量及其分布函数,定义1 设,是定义在概率空间,上的,n个随机变量,则称 是 上的一个,n维随机向量。,下面以二维随机向量为例,给出联合分布函数的性质。,二维随机向量联合分布函数的性质,二维随机向量边缘分布函数可推广到n维随机向量的边缘分布函数.,二. 离散型随机向量的概率分布,二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表,X,Y,0 1 2,边缘概率分布的计算也可以在(X,Y)的概率分布表上进行:,X,Y,0 1 2,二维离散型随机向量联合分布律的性质,性质1,证 因为,所以,性质2,证,证,解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i) (ij)
2、,于是(X,Y)的分布律为,随机向量的联合分布函数,例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX.,解:(1),(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.,例3.3 (均匀分布),G,x,y,y=x,0,1,1,边缘分布与边缘概率密度,边缘分布函数完全由联合分布函数确定.,(1) (X,Y)关于X的边缘分布律,(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律,边缘密度函数,边缘密度函数由联合密度函数决定.,设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则,从而得到X和Y的概率密度函数分别为,解 (X,Y)的联合
3、密度函数,则(X,Y)关于X的边缘密度函数,(X,Y)关于Y的边缘密度函数,(1)(X,Y)关于X的边缘密度函数,(2)(X,Y)关于Y的边缘密度函数,1.二元正态分布的边缘分布必为正态分布 2.相同的边缘分布未必能确定唯一的联合分布.相关系数为0时, 有联合密度等于两个边缘密度之积.,作业 P84: 3,4,5,6.,3.2 条件分布与随机变量的独立性,条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数.,X,Y,X,Y,0 1,0.12 0.18 0.28 0.42,三. 连续型随机变量的条件密度与独立性,x,y,0,1,1,D,
4、y=x,例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y) 所以X和Y相互独立.,解 (1)X与Y的密度函数分别为,因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数,解 (2)因为,所以,证 关于X与Y的边缘密度函数分别为,则X与Y相互独立的充分必要条件是,即,P94 1,5,13, 3.3 随机向量的函数的分布与数学期望,一.离散型随机向量的函数的分布,X,Y,0 0.1 0.2 0,1 0.3 0.05 0.1,2 0.15 0 0.1,P,0.1 0.5 0.2 0.1 0.1,P,0.15 0.3 0.35 0.1 0.1
5、,x+y=z(0),x,0,y,x,y,0,解: 因为X与Y相互独立,显然ZN(0,2).,定理表明:相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布.,例3.16 商的情况,例:设二维随机向量,的密度函数为,求,的密度函数。,解,于是Z的密度函数为,例3.18 积的情况,x,y,0,1,1,y=x,证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为,PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, PX=xi=pi., i=1,2, PY=yj=p.j, j=1,2,则,(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), p
6、Y(y),则,性质(2) :设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y),证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为,PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, PX=xi=pi., i=1,2, PY=yj=p.j, j=1,2,则,(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y),则, 例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).,解:引入随机变量,易知X=X1+X2+X10,任一旅客在第i站
7、不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1- (9/10)20.,即PXi=0= (9/10)20, PXi=1= 1- (9/10)20,所以,E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1,2,10,进而,E(X)=E(X1+X2+X10) =E(X1)+E(X2)+E(X10) =101- (9/10)20=8.784,注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.,P103: 3,7,11,3.4 随机向量的数字特征,对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y
8、各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.,但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.,一. 协方差,X,3 4,0.4 0.3,2 0.2 0.1,Y,x,y,1,1,0,y=x,定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X),证明 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X),定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数,证明
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- 多维 随机变量 及其 分布
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