课件机动目录上页下页返回结束.ppt
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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶线性微分方程解的结构,第七节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第十二章,一、二阶线性微分方程举例,上,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方
2、程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串,极板,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源
3、( E = 0 ) , 则得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,化为关于,的方程:,故有,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2, 可归结为同一形式:,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,
4、但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如,,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如,,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,
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