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1、,第 13 章 机 械 波,本章内容:,13.1 机械波的产生和传播,13.2 平面简谐波,13.3 波的能量,13.4 惠更斯原理,13.5 波的干涉,13.6 驻波,13.7 多普勒效应,Xian University of Science and Technology,13.1 机械波的产生和传播,13.1.1 机械波的产生,条件,波源:作机械振动的物体,机械波:,机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去,就形成机械波。,弹性介质:承担传播振动的物质,13.1.2 横波和纵波,介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波;如柔绳上传播的波。,介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的
2、波;如空气中传播的声波。,横波:,纵波:,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,横 波,纵 波,结论,(1) 波动中各质点并不随波前进;,(2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播。,13.1.3 波线和波面,沿波的传播方向作的有方向的线,波线:,波线,波传播过程中,任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面,波面:,波前:,某一时刻,波传播到的最前面的波面,球面波,柱面波,波面,波线,波面,波线,x,y,z,平面波,波面,说明,在各向同性均匀媒质中,波线波面。,同一波线上相位差为 2 的质点之间的距离;即波源作一次完全振动,波前进的距离。,13.1.4
3、波长 周期 频率 波速,波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。,单位时间内,波前进距离中完整波的数目。,振动状态在媒质中的传播速度。,波速与波长、周期和频率的关系为,弦线中的横波:,均匀细棒中的纵波:,波长反映了波的空间周期性。,频率与周期的关系为,13.2 平面简谐波,波面为平面的简谐波。,简谐波 波到之处,介质各质点匀作同频率的谐振动。,平面简谐波,13.2.1 平面简谐波的波函数,平面波函数,y,x,x,P,O,简谐振动,P 点 t 时刻的振动状态是O 点,简谐振动,平面简谐波的波函数,时刻的状态;,若,( P点处质点振动相位较O 点处质点相位落后 ),显然,其它形式,
4、若波沿轴负向传播时,用同样的方法可得波函数,y,x,x,P,O,若,其它形式,在下列情况下试求波函数:,(3) 若 u 沿 x 轴负向,以上两种情况又如何?,例,(1) 以 A 为原点;,(2) 以 B 为原点;,B,A,如图,已知A 点的振动方程为:,在 x 轴上任取一点P ,该点振动方程为:,波函数为:,解,P,(2) 以 B 为原点,P,B 点振动方程为:,波函数为:,(3) 以 A 为原点:,以 B 为原点:,波函数的物理意义,(2) 波形传播的时间周期性,(1) 振动状态的空间周期性,说明波线上振动状态的空间周期性,说明波形传播的时间周期性,t1时刻的波形,O,y,x,(4) t 给
5、定,y = y(x) 表示 t 时刻的波形图,(5) x和 t 都在变化,,(3) x 给定,y = y (t) 是 x 处振动方程,t1+t时刻的波形,表明各质点在不同,时刻的位移分布,一平面简谐波沿 x 轴正方向传播,已知其波函数为,a. 比较法(与标准形式比较),标准形式,波函数为,比较可得,例,解,(1) 波的振幅、波长、周期及波速;,求,(1),(2) 质点振动的最大速度。,b.分析法(由各量物理意义,分析相位关系),振幅,波长,周期,波速,(2),13.2.2 平面波的波动微分方程,由,得,(2) 不仅适用于机械波,也适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程;,(1) 上式是一切平
6、面波所满足的微分方程,(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播,波动方程为,说明,13.3 波的能量,13.3.1 波的能量和能量密度(以绳索上传播的简谐波为例),O,x,y,线元的动能为,线元的势能(平衡位置为势能零点)为,设波沿 x 方向传播,取线元x,T2,T1,y,其中,将,代入,线元的机械能为,和,机械能,能量密度,(绳子的横截面为S ,体密度为),平均能量密度,(1) 在波的传播过程中,媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的,即Wk=Wp,与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的。,讨论,x,y,O,A,B,(2) 质元机械能随时空周期性变化,表明质元在波传播过程中不断吸收和放
7、出能量;因此,波动过程是能量的传播过程。,13.3.2 能流密度,在一个周期中的平均能流为,s,ut,能流密度:,通过垂直于波线截面单位面积上的能流。,大小:,方向:波的传播方向,矢量表示式:,能流:单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流,S,波的强度:一个周期内能流密度大小的平均值。,13.3.3 平面波和球面波的振幅,平面波,(介质不吸收能量),由,得,这表明平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。,球面波,由,令,得,球面波振幅在媒质不吸收的情况下,随r 增大而减小.,则球面简谐波的波函数为,(A0为离原点(波源)r0 距离处波的 振幅),13.3.4 波的吸收,O,波在吸收媒
8、质中传播时,实验表明, 为介质吸收系数,与介质的性质、温度及波的频率有关。,I,x,I0,I0,O,I,应用:,增加吸收,减少吸收,已知某一时刻的波前,可用几何方法决定下 一时刻波面;,说明,R1,R2,S1,S2,O,13.4 惠更斯原理,惠更斯原理,行进中的波面上任意一点都 可看作是新的子波源;所有子波源各自向外发出许多子波;各个子波所形成的包络面,就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。,(2) 亦适用于电磁波,非均匀和各向异性媒质;,(3) 解释反射、折射、衍射现象;,B,C,A,由几何关系知:,u1,u2,u2t,d = u1t,折射现象,衍射现象,(4) 不足之处(未涉及振幅,相位
9、等的分布规律).,13.5 波的干涉,叠加原理,(1) 波传播的独立性,(2) 叠加原理,当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开,各波的传播情况与未相遇一样,仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。,在波相遇区域内,任一质点的振动,为各波单独存在时所引起的振动的合振动。,v1,v2,注意:,波的叠加原理仅适用于线性波的问题。,相干波与相干条件,干涉现象:,当两列(或多列)波叠加时,其合振动的振幅 A 和合强度 I 将在空间形成一种稳定的分布,即某些点上的振动始终加强,某些点上的振动始终减弱的现象。,相干波,相干条件,频率相同、振动方向相同、相位差恒定。,相干波
10、源,满足相干条件的波。,产生相干波的波源。,干涉规律,P 点处的合振动方程为,S1,S2,P 点处合振动的振幅,P,P,P 点处波的强度,波源:,P,相位差,波的强度,讨论,空间点振动情况分析:,当,(干涉相长),当,(干涉相消),若,(波程差),若,(干涉相长),若,(干涉相消),(干涉相长),(干涉相消),从能量上看,当两相干波发生干涉时,在两波交叠的区域,合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和,而是发生重新分布,形成了时间上稳定、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。,当,A、B 为两相干波源,距离为 30 m ,振幅相同,初相差为 ,u = 400 m/s, f =100 Hz
11、。,例,A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。,求,解,B,A,30m,(P 在A 左侧),(P 在B 右侧),(即在两侧干涉相长,不会出现静止点),r1,r2,P 在A、B点之间,P 在A点左侧或B点的右侧,(干涉相消),因干涉而静止的点:,13.6 驻波,13.6.1 弦线上的驻波实验,波腹,波节,(两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波),驻波条件:,13.6.2 驻波波函数,(a),(b),(c),C1,C2,D1,D2,D3,驻波是各质点振幅按余弦分布,(1),波腹:,讨论,波节:,相邻两波腹之间的距离:,(2) 所有波节点将媒质划分为长,每段中各质点的振动振幅不同,但相位皆相同;而
12、相邻段间各质点的振动相位相反; 即驻波中不存在相位的传播。,相邻两波节之间的距离:,的许多段,,(3) 没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间进行动能和势能的转化。,势能,动能,势能,(4) 半波损失。,反射点为波节,表明入射波与反射波在该点反相。,平面简谐波 t 时刻的波形如图,此波波速为 u ,沿x 方向传播,振幅为A,频率为 v 。,例,(3) 以B为坐标原点求合成波,并分析波节,波腹 的位置坐标。,(1) 以D 为原点,写出波函数;,(2) 以 B 为反射点,且为波节,若以 B 为 x 轴坐标原点,写出入射波,反射波函数;,解,(1),(2),求,B,D,x,y,(3),波腹,波
13、节,13.7 多普勒效应,多普勒效应由于观察者(接收器)或波源、或二者同时相对媒质运动,而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象。,波源静止,观察者运动,远离,靠近,u,观察者,观察者静止,波源运动,S 运动的前方波长变短,波源和观察者同时运动,远离,靠近,(符号正负的选择与上述相同),u,多普勒效应的应用:,监测车辆行驶速度,测量血液流速,一频率为1 kHz的声源,以 vs=34 m/s 的速率向右运动.在声源的右方有一反射面,以 v1=68 m/s 的速率向左运动. 设声波的速度为 u=340m/s.,例,(1)声源所发出的声波在空气中的波长.,求,(2)每秒内到达反射面的波数;,(3)反射波在空气中的波长.,(1)在声源的右侧, 相对空气静止的观察者接收到的频率,解,在声源的左侧声波在空气中的波长:,(2)反射面作为接收者测到的频率:,(3)反射波在空气中的频率:,反射波在空气中的波长:,
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