第3章概率与概率分布统计学统计学第三版贾俊平.ppt
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1、31,第 3 章 概率与概率分布,3.1 随机事件及其概率 3.2 随机变量及其概率分布 3.3 大数定律与中心极限定理,32,学习目标,理解随机事件的概念、了解事件之间的关系 理解概率的三种定义,掌握概率运算的法则 理解随机变量及其概率分布的概念 掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用 掌握正态分布的主要特征和应用,了解均匀分布的应用 理解大数定律和中心极限定理的重要意义,33,3.1 随机事件及其概率,一、随机试验与随机事件 二、随机事件的概率 三、概率的运算法则,34,一、随机试验与随机事件,3.1 随机事件及其概率,35,必然现象与随机现象,必然现象(确定性现象)
2、 变化结果是事先可以确定的,一定的条件必然导致某一结果 这种关系通常可以用公式或定律来表示 随机现象(偶然现象、不确定现象) 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 大量观察的结果会呈现出某种规律性 (随机性中寓含着规律性) 统计规律性,十五的夜晚能看见月亮?,十五的月亮比初十圆!,36,随机试验,严格意义上的随机试验满足三个条件: 试验可以在系统条件下重复进行; 试验的所有可能结果是明确可知的; 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。 广义的随机试验是指对随机现象的观察(或实验)。 实际应用中多数试验不能同时满足上述条件,常常从广义角度来理解。,37,随
3、机事件(事件),随机事件(简称事件) 随机试验的每一个可能结果 常用大写英文字母A、B、 、来表示 基本事件(样本点) 不可能再分成为两个或更多事件的事件 样本空间() 基本事件的全体(全集),38,随机事件(续),复合事件 由某些基本事件组合而成的事件 样本空间中的子集 随机事件的两种特例 必然事件 在一定条件下,每次试验都必然发生的事件 只有样本空间 才是必然事件 不可能事件 在一定条件下,每次试验都必然不会发生的事件 不可能事件是一个空集(),39,二、随机事件的概率,3.1 随机事件及其概率,1. 古典概率 2. 统计概率 3. 主观概率 4. 概率的基本性质,310,随机事件的概率,
4、概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1,表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零,P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间,0P(A)1 概率的三种定义,给出了确定随机事件概率的三条途经。,311,概率的古典定义,古典概型(等可能概型) 具有以下两特点 每次试验的可能结果有限(即样本空间中基本事件总数有限) 每个试验结果出现的可能性相同 它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象,312,概率的古典定义,概率的古典定义 前提:古典概型 定义(公式),计算古典概率常用到排列组合知识,313,【例3-1】,设有50件产品,其中有5件次品,现从这50件中任取2件,
5、求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少?抽到的两件产品均为次品的概率又是多少? 解:任一件被抽到的机会均等,而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合,共有C502种可能,所以这是一个古典概型。,314,概率的统计定义,当试验次数 n 很大时,事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动,而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小,则定义 p 为事件A发生的概率,当n相当大时,可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值计算概率的统计方法(频率方法),315,例(补充),根据古典概率定义可算出,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很
6、多人都曾经做过抛硬币试验。,316,【例3-2】,某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示,由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少?,317,3. 主观概率,有些随机事件发生的可能性,既不能通过等可能事件个数来计算,也不能根据大量重复试验的频率来近似 主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小 例如某经理认为新产品畅销的可能性是80 人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等,都是确定主观概率的依据,318,4. 概率的基本性质,非负性: 对任意事件A,有 0 P(A) 1。 规范性: 必然事件的概率为1,即: P()=1 不可能事件的概率为0 ,即:P
7、()=0。 可加性: 若A与B互斥,则:P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1,A2,An,则有: P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三条基本性质,也称为概率的三条公理。,319,(补充)关于概率的公理化定义,概率的以上三种定义,各有其特定的应用范围,也存在局限性,都缺乏严密性。 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义要求试验次数充分大,但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率
8、的公理化定义 通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。,320,三、概率的运算法则,3.1 随机事件及其概率,1. 加法公式 2. 乘法公式 3. 全概率公式和贝叶斯公式,321,1. 加法公式,用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率 互斥事件(互不相容事件) 不可能同时发生的事件 没有公共样本点,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),322,【例3-3】,设有50件产品,其中有5件次品,现从这50件中任取2件,若问
9、至少抽到一件次品的概率? 解:“至少抽到一件次品”这一事件实质上就是“抽取的2件产品中有一件次品”(记为A)与“抽取的两件产品均为次品”(记为B)这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件,故计算 “至少抽到一件次品”的概率采用公式: P(AB) =P(A)+P(B),323,互补事件,互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件 互补事件的概率之和等于1,A,A,例如:掷一个骰子,“出现2点”的概率是1/6,则“不出现2点”的概率就是5/6 。,324,相容事件的加法公式,相容事件 两个事件有可能同时发生 没有公共样本点 相容事件的加法公式 (广义加法公式 ),P ( AB ) =
10、P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的积(交)AB,事件的和(并),325,【例3-4】,将分别写有0至9这十个号码的小球装入一容器中,反复搅拌之后任意摇出一个小球,观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。 解:所求事件 奇数(A)大于等于4的数(B) 0,1,2,3,9,A1,3,5,7,9,B4,5,6,7,8,9 由于等可能性,P(A)=5/10, P(B) =6/10。P(A)+P(B) 1 ,显然P(AB) P(A)P(B) 因为A和B存在共同部分AB5,7,9,P(AB)3/10。在P(A)+P(B) 中P(AB) 被重复计算了。 正确计算是:
11、 P(AB)5/106/103/108/100.8,326,2. 乘法公式,用于计算两个事件同时发生的概率。 也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 先关注事件是否相互独立,327,(1)条件概率,条件概率在某些附加条件下计算的概率 在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B) 条件概率的一般公式:,其中 P(B) 0,328,【例3-5】,某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件,其中一级品为280件;乙厂生产600件,其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件,试求:已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率;已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级
12、品的概率。 解:设A“甲厂产品”,B“一级品”,则: P(A)0.4, P(B) 0.64,P(AB)0.28 所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64 所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率 P(B|A)0.28/0. 4,329,P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率 即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B),就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了,(1)条件概率(续),一旦事件B已发生,330,乘法公式的一般形式:,P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),【例3-6】对例3-1中的问题(从这50件
13、中任取2件产品,可以看成是分两次抽取,每次只抽取一件,不放回抽样) 解:A1第一次抽到合格品,A2第二次抽到合格品,A1A2抽到两件产品均为合格品 P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1),331,事件的独立性,两个事件独立 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率 P(A|B)P(A),或 P(B|A)P(B),独立事件的乘法公式:,P(AB) P(A)P(B),推广到n 个独立事件,有:,P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),332,3. 全概率公式,完备事件组 事件A1、 A2、An互不相容, AA2An 且P(Ai ) 0(i=1、2、.、n) 对任一事件B,它总是
14、与完备事件组A1、 A2、An之一同时发生,则有求P(B)的全概率公式:,333,例3-7,假设有一道四选一的选择题,某学生知道正确答案的可能性为2/3,他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率? 解:设 A知道正确答案,B选择正确。 “选择正确”包括: “知道正确答案而选择正确”(即AB) “不知道正确答案但选择正确”(即 ) P(B)(2/3)1(1/3)(1/4)3/4,334,全概率公式贝叶斯公式,全概率公式的直观意义: 每一个Ai的发生都可能导致B出现,每一个Ai 导致B发生的概率为,因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai 引发的概率的总和 相反,在观察
15、到事件B已经发生的条件下,确定导致B发生的各个原因Ai的概率 贝叶斯公式(逆概率公式) (后验概率公式),335,贝叶斯公式,若A1、 A2、An为完备事件组,则对于任意随机事件B,有:,计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。 公式中,P(Ai)称为事件Ai的先验概率 P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率,336,3.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布,337,一、随机变量的概念,3.2 随机变量及其概率分布,338,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的
16、,事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z.来表示,具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同,可分为: 离散型随机变量取值可以一一列举 连续型随机变量取值不能一一列举,339,二、随机变量的概率分布,3.2 随机变量及其概率分布,1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数,340,1. 离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi(i=1,2,3,n)之间的对应关系。 概率分布具有如下两个基本性质: (1) pi0,i=1,2,n; (2),341,离散型概率分
17、布的表示:,概率函数:P(X= xi)= pi 分布列: 分布图,342,2. 连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概率分布只能表示为: 数学函数概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形概率密度曲线和分布函数曲线 概率密度函数f (x)的函数值不是概率。 连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率 由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示,343,概率密度f (x) 的性质,(1) f (x)0。概率密度是非负函数。 (2),所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间(a,b)上的概率:,344,3. 分布函数,适用于两类随机变量概率分
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- 概率 分布 统计学 第三 版贾俊平
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