第3章概率概率分布与抽样分布.ppt
《第3章概率概率分布与抽样分布.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3章概率概率分布与抽样分布.ppt(172页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1,第 3 章 概率、概率分布与抽样分布,2,第 3 章 概率、概率分布与抽样分布,3.1 事件及其概率 3.2 随机变量及其概率分布 3.3 常用的抽样方法 3.4 抽样分布 3.5 中心极限定理的应用,3,3.1 事件及其概率,3.1.1 试验、事件和样本空间 3.1.2 事件的概率 3.1.3 概率的性质和运算法则 3.1.4 条件概率与事件的独立性 3.1.5 全概公式与逆概公式,4,试验、事件和样本空间,5,试 验 (experiment),对试验对象进行一次观察或测量的过程 掷一颗骰子,观察其出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张,并观察其结果(纸牌的数字或花色) 试验的特点 可
2、以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结果,具有这3个特点的试验称为随机试验,6,必然现象与随机现象,必然现象(确定性现象) 变化结果是事先可以确定的,一定的条件必然导致某一结果 这种关系通常可以用公式或定律来表示 随机现象(偶然现象、不确定现象) 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 大量观察的结果会呈现出某种规律性 (随机性中寓含着规律性) 统计规律性,十五的夜晚能看见月亮?,十五的月亮比初十圆!,7,事件 (event),事件:试验的每一个可能结
3、果(任何样本点集合) 如:掷一颗骰子出现的点数为3 通常用大写字母A,B,C,表示 随机事件(random event):每次试验可能出现也可能不出现的事件 掷一颗骰子可能出现的点数,随机试验的结果称为事件,随机变量,8,事件 (event),简单事件(simple event) :不能被分解成其他事件组合的基本事件 掷一颗骰子出现点数3(小于3) 必然事件(certain event):每次试验一定出现的事件,用表示 掷一颗骰子出现的点数小于7 不可能事件(impossible event):每次试验一定不出现的事件,用表示 掷一颗骰子出现的点数大于6,9,样本空间与样本点,样本空间(sam
4、ple Space) 一个试验中所有可能结果的集合,用表示 例如:在掷一颗骰子的试验中,样本空间表示为:1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中,正面,反面 样本点( sample point) 样本空间中每一个特定的试验结果 用符号表示,10,事件的概率,11,概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1,表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零,P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间0P(A)1,用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小, 记为P(A) 概率的三种定义,给出了确定随机事件概率的三条途经。,随机事件发生的可能性大小的度量称为概率,事件的概率
5、 (probability),12,概率的古典定义(古典概率),古典概型(等可能概型) 具有以下两特点 每次试验的可能结果有限(即样本空间中基本事件总数有限) 每个试验结果出现的可能性相同 它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象,13,概率的古典定义,概率的古典定义 前提:古典概型 当试验的次数很多时,概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近 在相同条件下,重复进行n次试验,事件A发生了m次,则事件A发生的概率可以写为,计算古典概率常用到排列组合知识,导致古典概率应用的局限性,14,概率的古典定义 (资料),根据古典概率定义可算出,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面与出现反
6、面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。,15,概率的古典定义 (例题分析),设有50件产品,其中有5件次品,现从这50件中任取2件,求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少?抽到的两件产品均为次品的概率又是多少? 解:任一件被抽到的机会均等,而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合,共有C502种可能,所以这是一个古典概型。,16,概率的统计定义(统计概率),当试验次数 n 很大时,事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动,而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小,则定义 p 为事件A发生的概率,当n相当大时,可用事件发生的频率m/n作为其
7、概率的一个近似值计算概率的统计方法(频率方法),统计概率通常是计算大量重复试验中该事件出现次数的比率,但有些试验是不能重复的,17,概率的统计定义 (例题分析),某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示,由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是,统计概率通常是利用历史的稳定数据或频率作为该事物发生概率的判断。,18,主观概率,有些随机事件发生的可能性,既不能通过等可能事件个数来计算,也不能根据大量重复试验的频率来近似 主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小 例如某经理认为新产品畅销的可能性是80 人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等,都是确定主观概率
8、的依据,19,概率的性质和运算法则,20,互斥事件及其概率 (mutually exclusive events), 在试验中,两个事件有一个发生时,另一个就不能发生,则称事件A与事件B是互斥事件,(没有公共样本点),互斥事件的文氏图(Venn diagram),可推广到多个事件互斥,John Venn是19世纪英国的哲学家和数学家,他在1881年发明了文氏图,21,互斥事件及其概率 (例题分析),【例】在一所城市中随机抽取600个家庭,用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件: A:600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑 B:恰好有100个家庭拥有电脑 C:特定户张三家拥有电脑
9、说明下列各对事件是否为互斥事件,并说明你的理由 (1) A与B (2) A与C (3) B与 C,22,互斥事件及其概率 (例题分析),解:(1) 事件A与B是互斥事件。因为你观察到恰好有265个家庭拥有电脑,就 不可能恰好有100个家庭拥有电脑 (2) 事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一,因而事件与有可能同时发生 (3) 事件B与C不是互斥事件。理由同(2),23,互斥事件的加法规则 (addition law), 互斥事件的加法规则 若两个事件A与B互斥,则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和,即 P(AB) =P(A)+P(B) 事件A1,A2
10、,An两两互斥,则有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),离散随机变量,24,互斥事件的加法规则 (例题分析),解:掷一颗骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)共有6个互斥事件,而且每个事件出现的概率都为1/6,根据互斥事件的加法规则,得,抛掷一颗骰子,并考察其结果。求出其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率,25,概率的性质 (小结),非负性 对任意事件A,有 P(A) 0 规范性 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值,即对于任意事件 A,有0 P (A) 1 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。即P ( )=1; P( )=0 可加性 若A与B
11、互斥,则P(AB) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1,A2,An,有 P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An),26,事件的补及其概率, 事件的补(complement) 事件A不发生的事件,称为A的补事件(或称逆事件),记为A 。它是样本空间中所有不属于事件A的样本点的集合,A,样本空间, A,P(A)=1- P(A),不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件,例如:掷一个骰子,“出现2点”的概率是1/6,则“不出现2点”的概率就是5/6 。,27,广义加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B发生的事件,称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或
12、事件B的所有样本点的集合,记为AB或A+B,28,广义加法公式 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件,称为事件A与事件B的交,它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合,记为BA 或AB,29,广义加法公式, 广义加法公式 对任意两个随机事件A和B,它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率,即 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB),两个事件的并,两个事件的交,30,广义加法公式 (例题分析),解:设A =员工离职是因为对工资不满意 B =员工离职是因为对工作不满意 依题意有:P(A)=0.40;P(B)=0.30;P(AB)=0.15
13、P(AB)=P(A)+ P(B)- P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查,发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意,有30%是因为对工作不满意,有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中,离职原因是因为对工资不满意或对工作不满意或二者皆有的概率。,31,某技术小组有12人,他们的性别和职称如下,现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率:(1)女性;(2)工程师;(3)女工程师,(4)女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系?,广义加法公式 (练习),32,设A女性,B工程师
14、,AB女工程师,A+B女性或工程师 (1)P(A)4/121/3 (2)P(B)4/121/3 (3)P(AB)2/121/6 (4)P(A+B)P(A)P(B)P(AB) 1/31/31/61/2,广义加法公式 (练习),33,条件概率与事件的独立性,34,条件概率 (conditional probability), 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率,称为已知B时A的条件概率,或称为给定B下A的概率,记为P(A|B),条件概率是结合某一事件发生的信息来修正相关事件发生的概率,35,条件概率 (例题分析),解:设 A =顾客购买食品, B =顾客购买其他商品 依题意有:P(A)=0.
15、80;P(B)=0.60;P(AB)=0.35,一家超市所作的一项调查表明,有80%的顾客到超市是来购买食品,60%的人是来购买其他商品,35%的人既购买食品也购买其他商品。求: (1)已知某顾客购买食品的条件下,也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下,也购买食品的概率,36,条件概率 (练习),一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件,质量状况如下表所示 从这200个配件中任取一个进行检查,求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件,它是正品的概率,37,条
16、件概率 (练习),解:设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件 (1) (2) (3) (4),38,乘法公式 (multiplicative law),用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A,B为两个事件,若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A),39,乘法公式 (例题分析),【例】一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报,而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率,解:设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
17、 依题意有:P(A)=0.75;P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A) P(B|A)=0.750.5=0.375,40,乘法公式 (练习),从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回),求连续两次摸中红球的概率,解:设 A = 第2次摸到红球 B = 第1次摸到红球 依题意有: P(B)=3/5;P(A|B)=2/4 P(AB)=P(A) P(B|A)=3/52/4=0.3,41,独立事件与乘法公式 (independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ,则称事件A与B事件独立,或称独立事件 若两个事件相互独立,则这两个事件同时发生的概
18、率等于它们各自发生的概率之积,即 P(AB)= P(A) P(B) 若事件A1,A2,An相互独立,则 P(A1, A2, , An)= P(A1) P(A2) P(An),互斥事件是有相关性的:如果A事件发生,则B事件必然不会发生 独立事件是没有相关性的:A事件发生的概率不会因为B事件的发生而受到影响,42,独立事件与乘法公式 (例题分析),一个旅游经景点的管理员根据以往的经验得知,有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下来的两个游客都照相留念的概率,解:设 A = 第一个游客照相留念 B = 第二个游客照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没有其他信息的情况下,我们可以假定事件A和
19、事件B是相互独立的,所以有 P(AB)=P(A) P(B)=0.800.80=0.64,43,独立事件与乘法公式 (例题分析),假定我们是从两个同样装有3个红球2个白球的盒子摸球,每个盒子里摸1个。 求连续两次摸中红球的概率,解:设 A = 从第一个盒子里摸到红球 B = 从第二个盒子里摸到红球 依题意有:P(A)=3/5;P(B)=3/5 P(AB)=P(A) P(B)=3/53/5=0.36,44,全概公式与逆概公式,45,全概公式, 全概公式,完备事件组,全概公式体现了条件概率和乘法公式的意义:将一个相对复杂的事件分解成便于计算概率的简单事件。,B1,B2Bn是互不相容事件且 B1B2B
20、n=,46,全概公式 (例题分析),假设在n张彩票中只有一张中奖奖券,那么第二个人摸到奖券的概率是多少?,解:设 A = 第二个人摸到奖券,B = 第一个人摸到奖券 依题意有:P(B)=1/n;P(B)=(n-1)/n P(A|B)=0 P(A|B)=1/n-1,经典的“摸彩不论先后,中奖机会均等,在很多场合,选择事件与事件的补作为完备事件组常常是一个简便而有效的途径,47,全概公式 (练习),某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射击)。某射击选手第一发命中的可能性是80,第二发命中的可能性为50。求该选手两发都脱靶的概率。 解:设A第1发命中。B命中碟靶
21、。P(A)=0.8,求命中概率是一个全概率的计算问题,再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。 0.810.20.50.9 脱靶的概率10.90.1,48,逆概公式, 逆概公式(贝叶斯公式 ),B1,B2,Bn是完备事件组 P(Bi)被称为事件Bi的先验概率(prior probability) P(A|Bi)被称为样本信息,是事件Bi发生的条件下事件A发生的概率 P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率(posterior probability),条件概率,在事件A已经发生的条件下来重新“修正”完备事件组B1,B2,Bn中每个事件的发生概率,初始的,没有其它信息的概率,已知事件A发生的信息后
22、修正的概率,乘法公式P(AB),全概公式P(A),49,逆概公式 (例题分析),某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为1/2,而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4,那么他答对题的概率是多大?,解:设 A = 该考生答对了 ,B = 该考生知道正确答案 依题意有:P(B)=1/2; P(B)=1-1/2 = 1/2 P(A|B)=1/4 P(A|B)=1,50,逆概公式 (例题),用某种方法普查肝癌,设: A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 , D= 被检查者确实患有肝癌 , 已知,现有一人用此法检验患有肝癌,求此人真正患有肝癌的概率,51,解: 由已知,得,所以,由Bay
23、es公式,得,逆概公式 (例题),52,资料,贝叶斯公式最早发表于1763年,当时贝叶斯已经去世,其结果没有受到应有的重视,后来,人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性。现在,贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、知识发现等领域的重要工具。 贝叶斯公式给出了结果事件B已发生的条件下,原因事件的条件概率。贝叶斯公式用于求原因概率;全概率公式用于求结果概率,53,练习,P117,8、9、10,54,3.2 随机变量及其概率分布,3.2.1 随机变量 3.2.2 离散型随机变量的概率分布 3.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差 3.2.4 几种常用的离散型概率分布
24、 3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量 3.2.6 常见的连续型概率分布,55,随机变量,56,随机变量 (random variables),对随机事件的数值性描述 -例如:抛硬币的结果,正面定义为1,反面定义为0 一般用 X,Y,Z 来表示 根据取值情况的不同分为 离散型随机变量:数轴上可列个孤立的点 连续型随机变量:数轴上一个或多个区间,57,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2, 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,58,连续型随机变量,可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来,而是取数轴上某一区
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率 分布 抽样
链接地址:https://www.31doc.com/p-2603085.html