3-幂零矩阵的Jordan 标准型 高等代数毕业论文.doc
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1、1 3-幂零矩阵的 Jordan 标准型 摘要:本文主要对 2-幂零矩阵,3-幂零矩阵的 Jordan 标准型进行探讨,对 2-幂零矩阵, 给出了 2-幂零矩阵的 Jordan 标准型的形式,并指出若固定秩,则有唯一的 Jordan 标准型,对 n 阶 3-幂零矩阵,文中推导出其秩的范围和其 Jordan 标准型的个数, 并给予证明,若其秩为一固定值,文中推导出了它的 Jordan 标准型的个数,并给 予证明。 关键词:k-幂零矩阵征值;2-幂零矩阵;3-幂零矩阵;若当形矩阵;Jordan 标准型;特 征多项式;特征根;初等因子;秩 0、引言 定义 1:设 ( 表示复数域 C 上全体 矩阵)
2、,若存在正整数 k,使得nACnP n ,则称 A 是幂零指数为 k 的幂零矩阵记为 k-幂零矩阵10,kk 特别地,当 k=2 时,即矩阵 A 满足 ,称 A 为 2-幂零矩阵20, 当 k=3 时,即矩阵 A 满足 ,称 A 为 3-幂零矩阵。23 定义 2:形式为 的矩阵称为 J 块,其中 是复数,由若干个若(,)10tJt 当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 定义 3:每个阶的复数矩阵 A 都与一个若当形矩阵相似,这个若当形矩阵除去其中若 当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的,它称为 A 的 Jordan 标准型。 目前关于幂零矩阵的 Jordan 标准型,仅有文1的关于 2-幂
3、零矩阵的研究探讨,有 以下三个性质: 性质 1:当 k=2 即复数域 C 上的 n 阶 2-幂零矩阵 A 的 Jordan 标准型为 , 1Jm 其中 ( ) , ,且至少存在 01ii kJ 0,12;,iim 1ikn 2 一个 j,使 即至少存在一个2jk01jkJ 性质 2:设 C 是复数域,而 A 是 C 上 2-幂零矩阵,设 A 的秩为 r,则 ,而 A2n 的 Jordan 标准型为 ,其中对角线上有 r 个 0100 。01 性质 3:两个 2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。 1、引理 引理 1.1:A 为幂零矩阵的充要条件是 A 的特征值全为 0。 证明:可见文2 引
4、理 1.2:设 ,则 ,而 。 01(,)kJk (0,),kJ(0,),(1)lJklk 引理 1.3:复数域 C 上的 k-幂零矩阵 A 的标准型具有形式 , 1mJ 其中 ( ) ,且至少存在一个若当块,使 。 01ii kJ 0,1;,2ikim jk 证明:因为 A 为幂零矩阵,故 A 的特征值全为 0,于是 A 的特征多项式为 。设幂n 零矩阵的 A 的初等因子为 可能相同,且 ) ,每一个初等因子1,21(mkk 1mikn 对应一个 J 块 ( ) ,这些 J 块构成一个若当形矩阵ik0i J 3 因为 A 为 k-幂零矩阵,所以 J 中存在 即至少存在一个 j,使 01jkk
5、 jk 即命题成立。 由引理 1.3,易证得关于 2-幂零矩阵的那三个性质是成立的 2、主要结果及证明 由引理 1.3 我们知道 n 阶 k-幂零矩阵 A 的 Jordan 标准型为 ,其中 1mJ ( ) , 且至少存在一个 j,使 01ii kJ 0,1;,2ikim 1iknjk 当 k=2,由推论 3,任一个 2-幂零矩阵,若它的秩确定,则它有唯一的一种 Jordan 标准型。 那么对于 k , (k 为大于 2 的正整数)任一个 k-幂零矩阵,若它的秩固定,它是否也 有唯一的 Jordan 标准型,若不唯一,它又含有多少种的 Jordan 标准型? 下面我们对 3-幂零矩阵进行探讨:
6、 设 A 为 n 阶 3-幂零矩阵,由引理 1.3 知 A 的 Jordan 标准型为 , 1Jm ( ) , ,且 ,至少存在一个 j,使 01ii kJ 0,123;,iim 1ikn 不妨设 ,则3jk12m 1k 下面我们对 讨论 的值的情况( )及所对应的 A 的秩 r,4n i ,2i (下面括号里的数表示秩的大小) 4 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 3=3(2) 4=3+1(2) 5=3+1+1(2) 6=3+1+1+1(2) 7=3+1+1+1+1(2) 8=3+1+1+1+1+1(2) 5=3+2(3) 6=3+2+1(3) 7=3+2+1+1(3) 8=3
7、+2+1+1+1 (3) 1302(,)ikm 7=3+2+2(4) 8=3+2+2+1(4) 6=3+3(4) 7=3+3+1(4) 8=3+3+1+1(4)12(3,4)ik 8=3+3+2(5) n=9 n=10 n=11 (2)931 (2)103 (2)13 (3)2 (3)2 (3)21 (4) (4) (4) (5)1031(5)3 10(2,)ikm (6)2 (4)93 (4) (4)1 (5)21(5)0321(5)3 12,0(4)ik (6) (6)293 (6) (6)1123,(5)ikm (7)3 同理我们可以得出 的情况12,n 将 列表,得到阶数为 n 的 3
8、-幂零矩阵,当其秩为 r 时所含有的不同的3,4n Jordan 标准型的个数(空格表示 0) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3 1 4 1 5 1 1 6 1 1 1 7 1 1 2 8 1 1 2 1 9 1 1 2 2 1 10 1 1 2 2 2 11 1 1 2 2 3 1 12 1 1 2 2 3 2 1 5 13 1 1 2 2 3 3 2 14 1 1 2 2 3 3 3 1 15 1 1 2 2 3 3 4 2 1 16 1 1 2 2 3 3 4 3 2 17 1 1 2 2 3 3
9、 4 4 3 1 18 1 1 2 2 3 3 4 4 4 2 1 19 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 2 20 1 1 2 2 3 3 4 4 5 4 3 1 21 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 2 1 22 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 3 2 23 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 4 3 1 24 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 4 2 1 25 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 5 3 2 26 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 4 3 1 27 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
10、 6 7 5 4 2 1 28 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 6 5 3 2 29 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 6 4 3 1 30 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 5 4 2 1 31 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 6 5 3 2 32 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 7 6 4 3 1 33 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 7 5 4 2 1 34 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 6 5
11、3 2 35 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 7 6 4 3 1 36 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 8 7 5 4 2 1 由上述表格,我们可以得出 定理 2.1:n 阶 3-幂零矩阵,它的秩 2(3,01)1,2nqrr 证明:利用引理 1.3 及秩的性质显然。 定理 2.2:设秩为 r 的 n 阶 3-幂零矩阵的 Jordan 标准型共有 种,l 其中 4,(01,23)nae 6 则若 e=1,2,3 时, 当 ,则2ra2rl 当 ,若 为整数,即存在一个正整数 b,使得 a+b 2r 若 不是整数,则 为整数
12、,因为2r12ra 所以 即存在一个正整数 b,使得 =a+ba 12r 则若 (e=1,2,3) ,3121,rable 若 0,e 当 则 ,2ra2rl 当 则若1r,311,2abler 即若 ,当 ,则4naa2rl 当 ,321,rbalb 若 ,当 ,则4na2r2r 当 ,31,12ablr 若 当 ,则43,naa2rl 当 ,3421,rbal 若 ,若 则 ,4na2r2r 7 若 当12ra,3121,rbla 其中 b 表示正整数。 证明:当 时,41,na 1) 若 讨论 的值及秩 r(表格中括号里的数表示秩的个数)32c12mk 令 即 J(0,3)表示 3 阶
13、Jordan 块 0(,)J 的值12mk 1mikn130(2,)ik (2)3c5 (3)124 (4)1 (6c+1)61cc 即含 1 个 的 A 的 Jordan0 标准型为 的各一个26rc512,30(4)ikm (4)3 (5)12 (6) (6c+1)1c 含 2 个 的 A 的 Jordan 标准型 01 为 的各一个46rc53(1,2)045sikm (6)13 (7)2 (8)c (6c+2)1 含 3 个 的 A 的 Jordan 标准型 01 为 的各一个62rc53(1,2)056sik (4)13c (5)2 ( 6) (6c+1)1c 含 4 个 的 A 的
14、 Jordan 标准型 01 为 的各一个862rc53(1,2)067sikm (4)13 (5)2 ( 6)c (6c+1)1 含 5 个 的 A 的 Jordan 标准型 01 为 的各一个63rc 8 同理可得 含 7 个 的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各一个J(0,3) 146rc5 含 8 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各一个4 含 9 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各一个8 含 10 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵
15、各一个2065rc 不妨设 可看到数列6162636465,10,18,cccccaaa ,4()fff 当 设至少存在 x 个 J(0,3) ,, ,2rbb 则有 ,682cax41x1,6,rrc 设至少存在 y 个 J(0,3) , 则有 ,62182cba41yb 即含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各4 826rbc5 一个 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各一个 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵各41b 8261rbc5 一个 含 个 J(
16、0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的 Jordan 形矩阵2 4b 各一个 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的各一个41c 82rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的一个 所以,当 即2rac13,6,12r rrl 若,2,abcb6(8)13322cl ca 若 1,61,rr()cbl cb 9 2)若 同上,讨论 的值及秩 r,可得31,25acn12mk 含 1 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个63rc5 含 2 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 含 3 个
17、 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 含 4 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个86rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个1b 2b 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 86rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 1 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个2b 423b 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4c 8rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan
18、标准型为 的矩阵各一个1 2,3 所以,当 即2ra13,63,12r rcl 若c,2,abcb6(8)1332l a 若 1,6,2rrc3(2)cbl b 3)若 ,同上,可得3,4()19anc 含 1 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个265rc 含 2 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 含 3 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 含 4 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个86rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个1b 24
19、rb 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 86c5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个2b 42rb 10 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个42c 845rc 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵一个6 所以,当 即2rac1232,1rrrcl 若2, 4,abcb64(8)13322cl a 若 1,625,rrc5()cbl b 综上,当 时, 若 ,则41na2ra2rl 若 时,若
20、r,321,2blarb 同上讨论可得 当 时, 42na 1)若 时,3,1c 含 1 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个261rc5 含 2 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 含 3 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 含 4 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个863rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个1b 42b 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个4 86rc5 含 个 J(0,3)的 A 的
21、 Jordan 标准型为 的矩阵各一个 1 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个2b 2b 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个41c 8rc5 含 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个1 所以,当 即2ra123,6,2rrrcrl 若, ,abcb 11 62(84)133cbl cba 若 1,261,rarcl c 2)若 时31,26acn 含 1 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一个263r5 含 2 个 J(0,3)的 A 的 Jordan 标准型为 的矩阵各一
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