第3章离散傅立叶变换.ppt
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1、第3章 离散傅立叶变换,DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 圆周卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样,有限长序列的傅里叶分析,一、四种信号傅里叶表示,1. 周期为T0的连续时间周期信号,频谱特点: 离散非周期谱,2. 连续时间非周期信号,频谱特点: 连续非周期谱,3. 离散非周期信号,频谱特点: 周期为2的连续谱,4. 周期为N 的离散周期信号,频谱特点:周期为N的离散谱,为了便于更好地理解DFT的概念,先讨论周期序列及其离散傅里叶级数(DFS)表示。 一个周期为N的周期序列,即 , k为任意整数,N为周期 周期序列不能进行Z变换,因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减,即 z
2、平面上没有收敛域。但是,正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达,周期序列也可用离散的傅氏级数来表示,也即用周期为N的正弦序列来表示。,离散傅里叶级数(DFS),周期为N的正弦序列其基频成分为: K次谐波序列为:,但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的,这是与连续傅氏级数的不同之处, 即 因此,将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量,所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数, 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ,并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N
3、 次谐波的系数 2) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3) 为周期序列,周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对,这种对称关系可表为: 习惯上:记 ,,DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况),其它的内容也就都知道了,所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的,因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数变换 IDFS离散傅里叶级数反变换。,DDFS的几个主要特性: 假设 都是周期为
4、N 的两个周期序列,各自的离散傅里叶级数为: 1)线性 a,b为任意常数,2)序列移位 证因为 及 都是以N为周期的函数,所以有,由于 与 对称的特点,同样可证明,3)共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足,证:,同理:,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称分量,4)周期卷积 若 则 或,周 期 卷 积,证: 这是一个卷积公式,但与前面讨论的线性卷积的差别在于,这里的卷积过程只限于一个周期内(即 m=0N-1),称为周期卷积。 例: 、 ,周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ,求周期卷积。 结果仍为周期序列,周期为 N 。,由于DFS与IDFS的对称性,对周期序列乘积,存在着频域的周
5、期卷积公式, 若 则,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n),长为N, 为了引用周期序列的概念,假定一个周期序列 ,它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成,它们的关系:,离散傅里叶变换(DFT),周期序列的主值区间与主值序列: 对于周期序列 ,定义其第一个周期 n=0N-1,为 的“主值区间”,主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为: 数学表示: RN(n)为矩形序列。 符号(n)N 是余数运算表达式,表示 n 对 N 求余数。,例: 是周期为 N=8 的序列,求 n=11 和 n=-
6、2 对 N的余数。 因此,频域上的主值区间与主值序列:,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列,也可给它定义一个主值区间 ,以及主值序列 X(k)。 数学表示:,再看周期序列的离散傅里叶级数变换(DFS)公式:,这两个公式的求和都只限于主值区间(0N-1),它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ,因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。,长度为N的有限长序列 x(n) ,其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列,它们的关系为: x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对,已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ,同样已知 X(k)
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