鲁棒控制数学基础.ppt
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1、Lyapunov方程,Lyapunov方程是指具有如下形式的方程 A,Q给定,如果P存在,就说Lyapunov方程有解。 以下叙述中,用In(A)=(p,q,r)表示A的惯性指数。(正,负,零实部),1,Lyapunov方程的一般解,矩阵方程AX-XB=C有唯一解X的充分必要条件是A和B没有相同的特征根。 设 (i=1,2n)是矩阵A的特征值,则Lyapunov方程有唯一实对称解的充要条件是 i,j=1,2,n 设Q为任意给定的正定矩阵,则Lyapunov方程有唯一正定解P的充要条件是In(A)=(0,n,0),2,设Q= 是半正定矩阵,且 (A,D)是可观的、可控的、可检测的、可稳定的。Ly
2、apunov方程具有唯一正定解的充分必要条件是In(A)=(0,n,0) 可稳定:对于系统 进行状态反馈 ,若闭环控制系统对于任意初始状态 满足 ,则称为系统是可稳定的,即(A,B)是可稳定的。 对于系统 ,如果( , )是可稳定的,则称系统是可检测的,即(C,A)是可检测的,3,可稳定性;(A,B)是可稳定的 存在使A+BK渐进稳定的矩阵K 对于任意的Re(S) 0,有rank(SI-A,B)=n。 可检测性(C,A)是可检测的 存在使A+HC渐进稳定的矩阵 对于任意的Re(S) 0,有rank =n。 可控性? 可观性? 如何判断?,4,Riccati方程,Riccati方程是指具有如下形
3、式的矩阵方程: 其中 ,且Q为对称矩阵,R为半定或者半负定矩阵,若存在P满足上式,则称该方程有解。,5,Raccati解的一般形式,定义 维的矩阵E如下: 称为Raccati方程的Hamiltonian矩阵 设 (i=1,2n)是E的n个特征根 , 是以之对应的特征向量,记 (i=1,2n)对应的Jordan标准型为J,并定义 矩阵T为 ,则有ET=TJ,令 矩阵 和 为 ,那么关于Riccati方程的解有如下结论:,6,若P是方程的解,p可以表示为 ,反之,若 是非奇异矩阵,则上式给出的矩阵P是Riccati方程的解。 Hamilton矩阵E的特征值关于原点是对称分布的,即若 是E的一个特征
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