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1、第4章电路定理,4.1 叠加定理和齐性定理 4.2 替代定理 4.3 戴维宁定理和若顿定理 4.4 最大功率传输定理 4.5 对偶原理 4.6 特勒根定理和互易定理,前几章介绍了几种常用的电路元件,电路的基本定律和各种分析方法。本章介绍线性电阻电路的几个网络定理,以便进一步了解线性电阻电路的基本性质。利用这些定理可以简化电路的分析和计算。,4.l 叠加定理和齐性定理,由独立电源和线性电阻元件(线性电阻、线性受控源等)组成的电路,称为线性电阻电路。描述线性电阻电路各电压电流关系的各种电路方程,是以电压电流为变量的一组线性代数方程。作为电路输入或激励的独立电源,uS和iS总是作为与电压电流变量无关
2、的量出现在这些方程的右边。求解这些电路方程得到的各支路电流和电压(称为输出或响应)是独立电源uS和iS的线性函数。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性,它是线性电路的一种基本性质。,现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。,列出图(a)电路的网孔方程,求解上式可得到电阻R1的电流i1和电阻R2上电压u2,其中,+,电流i1的叠加,+,电压u2的叠加,从上可见:电流i1和电压u2均由两项相加而成。 第一项i1 和u2是该电路在独立电流源开路(iS=0)时,由独立电压源单独作用所产生的i1和u2。 第二项i1和u2是该电路在独立电压源短路(uS=0)时,由独立电流源单独作用所产生的i1和u2
3、。 以上叙述表明,由两个独立电源共同产生的响应,等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线性电路的这种叠加性称为叠加定理。,叠加定理陈述为:由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流,等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。 也就是说,只要电路存在惟一解,线性电阻电路中的任一结点电压、支路电压或支路电流均可表示为以下形式,式中uSk(k=1,2,m)表示电路中独立电压源的电压; iSk(k=1,2,n)表示电路中独立电流源的电流。 Hk(k=1,2,m)和Kk(k=1,2,n)是常量,它们取决于电路的参数和输出变量的选择,而与独立电源无关。,在计算某一独立电源单独作用
4、所产生的电压或电流时,应将电路中其它独立电压源用短路(uS=0)代替,而其它独立电流源用开路(iS=0)代替。 式(41)中的每一项y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是该独立电源单独作用,其余独立电源全部置零时的响应。这表明y(uSk)与输入uSk或y(iSk)与输入iSk之间存在正比例关系,这是线性电路具有“ 齐次性” 的一种体现。 式(41)还表明在线性电阻电路中,由几个独立电源共同作用产生的响应,等于每个独立电源单独作用产生的响应之和,这是线性电路具有可“ 叠 加性” 的一种体现。利用叠加定理反映的线性电路的这种基本性质,可以简化线性电路的分析和计算,在以后的学习中经常用
5、到。,值得注意的是:线性电路中元件的功率并不等于每个独立电源单独产生功率之和。例如在双输入电路中某元件吸收的功率,需要说明的是叠加定理仅仅适用于存在惟一解的线性电路。,例4l 电路如图所示。 (l)已知I5=1A,求各支路电流和电压源电压US。,解:用2b方程,由后向前推算,1A,3A,4A,4A,8A,80V,(2)若已知US=120V,再求各支路电流。,1A,3A,4A,4A,8A,80V,解:当US=120V时,它是原来电压80V的1.5倍,根据线性 电路齐次性可以断言,该电路中各电压和电流均增加 到1.5倍,即,120V,12A,6A,6A,4.5A,1.5A,例42 电路如图(a)所
6、示。若已知:,试用叠加定理计算电压u 。,解:画出uS1和uS2单独作用的电路,如图(b)和(c)所示, 分别求出,根据叠加定理,代入uS1和uS2数据,分别得到,例43 电路如图(a)所示。已知r=2,试用叠加定理求电 流i和电压u。,解:画出12V独立电压源和6A独立电流源单独作用的电路 如图(b)和(c)所示。(注意在每个电路内均保留受控源, 但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)电路, 列出KVL方程,求得,由图(c)电路,列出KVL方程,求得,最后得到,例44 用叠加定理求图(a)电路中电压u。,解:画出独立电压源uS和独立电流源iS单独作用的电路, 如图(b)和(c)所示。
7、由此分别求得u和u”,然后根据叠 加定理将u和u”相加得到电压u, 使用叠加定理时,应注意下列几点: 1)叠加定理只适用于线性电路,不能用于非线性电路。,4)叠加时要注意电流和电压的参考方向,求和时要注意各 电流和电压的正负。 (各响应分量的参考方向与其总响应的参考方向相同时取 正“+”,相反时取负“”),3)叠加定理只能用来计算线性电路的电流和电压,不能用来计算电路的功率。,2)各独立源单独作用时,电路的联接,电路中所有的电阻、受控源及其控制量(电流或电压)的方向或极性都不允许更动。(受控源不能单独作用,也不能象独立源那样用“短路”、“开路”替代。), 叠加定理的推论齐性定理 齐性定理:线性
8、电路中,当所有激励(电压源和电流源)都增大或缩小K倍(K为实数),响应(电流和电压)也将同样增大或缩小K倍。,应用齐性定理时,注意: 激励是指独立源; 必须全部激励同时增大或缩小K倍,否则将导致错误的结果。,特例:当电路中只有一个激励时,响应将与激励成正比。,例,采用倒推法:设 i=1A,则,求电流 i,RL=2 R1=1 R2=1 us=51V,,解,替代定理:如果网络N由一个电阻单口网络NR和一个任意单口网络NL连接而成图(a),则: 1如果端口电压u有唯一解,则可用电压为u的电压源来替代单口网络NL,只要替代后的网络图(b)仍有惟一解,则不会影响单口网络NR 内的电压和电流。,4.2 替
9、代定理,2如果端口电流i有唯一解,则可用电流为i的电流源来替代单口网络NL,只要替代后的网络图(c)仍有唯一解,则不会影响单口网络NR 内的电压和电流。,替代定理的价值在于: 一旦网络中某支路电压或电流成为已知量时,则可用一个独立源来替代该支路或单口网络NL,从而简化电路的分析与计算。 替代定理对单口网络NL并无特殊要求,它可以是非线性电阻单口网络和非电阻性的单口网络。,例,求图示电路的支路电压和电流,解,替代以后有:,替代后各支路电压和电流完全不变。,注意,替代前后KCL,KVL关系相同,其余支路的u、i关系不变。用uk替代后,其余支路电压不变(KVL),其余支路电流也不变,故第k条支路ik
10、也不变(KCL)。用ik替代后,其余支路电流不变(KCL),其余支路电压不变,故第k条支路uk也不变(KVL)。,原因,替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。,注意,替代后其余支路及参数不能改变。,替代后电路必须有唯一解。,无电压源回路;,无电流源结点(含广义结点)。,注意,3. 替代定理的应用,求电流I1,解,用替代:,例1,例2,已知:uab=0, 求电阻R,解,用替代:,用结点法:,例3图(a)电路中g=2S。试求电流I。,解:先用分压公式求受控源控制变量U,用电流为gU=12A的电流源替代受控电流源,得到图(b)电路,该电路不含受控电源,可以用叠加定理求得电流为,4.3戴维宁定
11、理和诺顿定理,目的与要求,1 理解戴维南定理和诺顿定理 2 会用戴维南定理和诺顿定理分析电路,重点与难点,重点:戴维宁定理和诺顿定理的内容 难点: 等效电阻的计算,4.3戴维宁定理和诺顿定理,工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,1. 戴维宁定理:含独立电源的线性电阻单口网络N,就端口特性而言,可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络图(a)。电压源的电压等于单口网
12、络在负载开路时的电压uoc;电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻 图(b)。,4.3.1戴维宁定理,uoc 称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子电路中,当单口网络视为电源时,常称此电阻为输出电阻,常用Ro表示;当单口网络视为负载时,则称之为输入电阻,并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络,称为戴维宁等效电路。,在单口网络端口上外加电流源i ,根据叠加定理,端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u=Roi 图(b),另一部分是外加电流源置零(i=0),即单口网络开路时,由单口网络内部全部独立电源共
13、同作用产生的电压u”=uoc 图(c)。由此得到,当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时,其端口电压-电流关系方程可表为,戴维宁定理可以在单口外加电流源i,用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。,此式与式(43)完全相同,这就证明了含源线性电阻单口网络,在端口外加电流源存在唯一解的条件下,可以等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。,只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替)时单口网络N0的等效电阻Ro,就可得到单口网络的戴维宁等效电路。,2.定理的应用,(1)开路电压Uoc 的计算,等效电阻为将一端口
14、网络内部独立电源全部置零(电压源短路,电流源开路)后,所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算:,(2)等效电阻的计算,戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算。,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和Y互换的方法计算等效电阻;,开路电压,短路电流法。,外加电源法(加电压求电流或加电流求电压);,外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路
15、中。,注意,例求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。,解:在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向, 注意到i=0,可求得,将单口网络内1V电压源用短路代替,2A电流源用开路代替,得到图(b)电路,由此求得,根据uoc的参考方向,即可画出戴维宁等效电路,如图(c)所示。,例 求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。,解: 标出单口网络开路电压uoc的参考方向,用叠加定理求 得uoc为,将单口网络内的2A电流源和 电流源分别用开路代替,10V电压源用短路代替,得到图(b)电路,由此求得戴维宁等效电阻为,根据所设uoc的参考方向,得到图(c)所示戴维宁等效电路。其uoc和Ro值如上两式所示
16、。,例求图(a)单口网络的戴维宁等效电路。,解:uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0,使得受控电流 源的电流3i=0,相当于开路,用分压公式可求得uoc为,为求Ro,将18V独立电压源用短路代替,保留受控源,在 a、b端口外加电流源i,得到图(c)电路。通过计算端口电压u的表达式可求得电阻Ro,例求(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i 。,解:断开负载电阻RL,得到图(b)电路,用分压公式求得,将独立电压源用短路代替,得到图(c)电路,由此求得,用戴维宁等效电路代替单口网络,得到图(d)电路,由此求得,从用戴维宁定理方法求解得到的图(d)电路和式(46)中,还可以得出一些用其它网络分析方
17、法难以得出的有用结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条件下,可使电阻RL中电流i为零的问题,只需令式(46)分子为零,即,由此求得,这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。,4.3.2 诺顿定理,一、诺顿定理 诺顿定理:含独立源的线性电阻单口网络N,就端口特性而言,可以等效为一个电流源和电阻的并联图(a)。电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流isc;电阻Ro是单口网络内全部独立源为零值时所得网络 No的等效电阻图(b)。,isc称为短路电流。Ro称为诺顿电阻,也称为输入电阻或输出电阻。电流源isc和电阻Ro的并联单口
18、,称为单口网络的诺顿等效电路。,在端口电压电流采用关联参考方向时,单口的 VCR方程可表示为,诺顿定理的证明与戴维宁定理的证明类似。在单口网络端口上外加电压源u 图(a),分别求出外加电压源单独产生的电流图(b)和单口网络内全部独立源产生的电流i=-isc 图(c),然后相加得到端口电压电流关系式,上式与式(49)完全相同。这就证明了含源线性电阻单口网络,在外加电压源存在唯一解的条件下,可以等效为一个电流源isc和电阻Ro的并联。,例4求图(a)单口网络的诺顿等效电路。,解:为求isc,将单口网络从外部短路,并标明短路电流isc 的参考方向,如图(a)所示。由 KCL和VCR求得,为求Ro,将
19、单口内电压源用短路代替,电流源用开路代替,得到图(b)电路,由此求得,根据所设isc的参考方向,画出诺顿等效电路图(c)。,例 求图(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。,解:为求isc,将单口网络短路,并设isc的参考方向如图(a)所 示。用欧姆定律先求出受控源的控制变量i1,得到,为求Ro,将10V电压源用短路代替,在端口上外加电压源u,如图(b)所示。由于i1=0,故,求得,或,由以上计算可知,该单口等效为一个4A电流源图(c)。该单口求不出确定的uoc,它不存在戴维宁等效电路。,若一端口网络的等效电阻 Req= 0,该一端口网络只有戴维宁等效电路,无诺顿等效电路。,注意,若一端口网络的
20、等效电阻 Req=,该一端口网络只有诺顿等效电路,无戴维宁等效电路。,教学方法,讲授法,思考题,1.一个无源二端网络的戴维南等效电路是什么?如何求有源二端网络的戴维南等效电路?,4.4 最大功率传输定理,4.4 最大功率传输定理,本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中,常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图(a)所示的电路模型来分析,网络N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络,它可用戴维宁等效电路来代替,如图(b)所示。电阻RL表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻RL为何值时,可以从单口网络获得最大功率。,写出负载RL吸
21、收功率的表达式,欲求p的最大值,应满足dp/dRL=0,即,由此式求得p为极大值或极小值的条件是,由于,由此可知,当Ro0,且RL=Ro时,负载电阻RL从单口网络获得最大功率。,最大功率传输定理:含源线性电阻单口网络(Ro0)向可变电阻负载RL传输最大功率的条件是:负载电阻RL与单口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时,称为最大功率匹配,此时负载电阻RL获得的最大功率为,满足最大功率匹配条件(RL=Ro0)时,Ro吸收功率与RL吸收功率相等,对电压源uoc 而言,功率传输效率为=50%。对单口网络 N中的独立源而言,效率可能更低。电力系统要求尽可能提高效率,以便更充分的利用能源,不能采
22、用功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中,常常着眼于从微弱信号中获得最大功率,而不看重效率的高低。,例 电路如图(a)所示。 试求:(l) RL为何值时获得最大功率; (2) RL获得的最大功率; (3) 10V电压源的功率传输效率。,解:(l)断开负载RL,求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参 数为,如图(b)所示,由此可知当RL=Ro=1时可获得最大功率。,(2)由公式求得RL获得的最大功率,(3)先计算10V电压源发出的功率。当RL=1时,10V电压源发出37.5W功率,电阻RL 吸收功率6.25W,其功率传输效率为,例求图(a)所示单口网络向外传输的最大功率。,解:为求uoc,按图
23、(b)所示网孔电流的参考方向,列出网 孔方程:,整理得到,解得:,为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向,列出网孔方程,整理得到,解得 isc=3A,得到单口网络的戴维宁等效电路,如图(d)所示。由公式求得最大功率。,为求Ro,求得,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;,计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.,注意,4.5 对偶原理,4.5 对偶原理,在对偶电路中,某些元素之间的关系(或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分
24、析中出现的大量相似性的归纳和总结 。,1. 对偶原理,根据对偶原理,如果在某电路中导出某一关系式和结论,就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。,2. 对偶原理的应用,例1,串联电路和并联电路的对偶,将串联电路中的电压u与并联电路中的电流i互换,电阻R与电导G互换,串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流;电阻R与电导G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。,结论,网孔电流方程,结点电压方程,例2,网孔电流与结点电压的对偶,把 R 和 G,us 和 is ,网孔电流和结点电压等对应元素互换,则上面两个方程彼此转换。所以“网孔电流”
25、和“结点电压“是对偶元素,这两个平面电路称为对偶电路。,结论,定理的综合应用,例1,图示线性电路,当A支路中的电阻R0时,测得B支路电压U=U1,当R时,UU2,已知ab端口的等效电阻为RA,求R为任意值时的电压U,应用替代定理:,应用叠加定理:,应用戴维宁定理:,解,解得:,4.6 特勒根定理和互易定理,4.6 特勒根定理和互易定理,4.6.1定理:具有b条支路,n个节点的任意集中参数网络,在任何瞬间各支路电压与电流乘积的代数和为零。设网络的支路电压为Uk,支路电流为Ik(k=1,2,b),具有 关联参考方向,则有,任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。,表明,功率守恒,应用KCL:
26、,支路电压用结点电压表示,定理证明:,定理:具有n个节点,b条支路的同样向图的两个集中参数网络N和 。支路电压分别为表示为Uk和 ,支路电流分别为表示为 和 , ,则有,拟功率定理,定理证明:,对电路2应用KCL:,例1,R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V,R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A,求此时的U2,解,把两种情况看成是结构相同,参数不同的两个电路,利用特勒根定理2,由(1)得:U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A,例2,解,已知: U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A,应用特勒根定理:,电路
27、中的支路电压必须满足KVL;,电路中的支路电流必须满足KCL;,电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向; (否则公式中加负号),定理的正确性与元件的特征全然无关。,注意,4.6.2 互 易 定 理,对一个仅含电阻的二端口电路NR,其中一个端口加激励源,一个端口作响应端口,在只有一个激励源的情况下,当激励与响应互换位置时,同一激励所产生的响应相同。,图 互易定理一,互易定理一:对互易双口网络Nr,当在端口ab施加一电压源激励us时,在另一端口cd产生的短路电流icd(如图(a)所示),等于将同一us接到端口cd时在端口ab所产生的短路电流iab(如图(b)所示)。,图 互易定理二,互易定
28、理二:对互易双口网络Nr,当在端口ab施加一电流源激励is时,在另一端口cd产生的开路电压ucd(如图(a)所示),等于将同一is接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab(如图(b)所示)。,图互易定理三,互易定理三:对互易双口网络Nr,当在端口ab施加一电流源激励is时,在另一端口cd产生的短路电流icd(如图4(a)所示),等于将一数值与is相等的电压源接到端口cd时在端口ab所产生的开路电压uab(如图(b)所示)。,情况1,当 uS1 = uS2 时,i2 = i1,则端口电压电流满足关系:,注意,证明:,由特勒根定理:,即:,两式相减,得:,将图(a)与图(b)中端口条件代入,
29、即:,即:,证毕!,情况2,则端口电压电流满足关系:,当 iS1 = iS2 时,u2 = u1,注意,情况3,则端口电压电流在数值上满足关系:,当 iS1 = uS2 时,i2 = u1,注意,互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,端口两个支路电压电流关系。,互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移;,互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 (要么都关联,要么都非关联);,含有受控源的网络,互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意:,例1,求(a)图电流I ,(b)图电压U,解,利用互易定理,例2,求电流I,解,利用互易定理,I1 = I 2/(4+2)=2/3A,I2 = I 2/(1+2)=4/3A,I= I1-I2 = - 2/3A,例3,测得a图中U110V,U25V,求b图中的电流I,解1,利用互易定理知c图的,结合a图,知c图的等效电阻:,戴维宁等效电路,解2,应用特勒根定理:,例4,问图示电路与取何关系时电路具有互易性,解,在a-b端加电流源,解得:,在c-d端加电流源,解得:,如要电路具有互易性,则:,一般有受控源的电路不具有互易性。,结论,本章结束,
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