模煳数学基础.ppt
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1、第五章 模糊控制系统,5.1 模糊集合及其运算 经典集合及运算 集合: 指具有某种属性的,确定的,彼此之间可以区别的事物全体。组成集合的事物称集合的元素,集合以大写字母A、B、CX、Y、Z表示,元素以小写字母a、b、cx、y、z表示,元素与集合之间的关系:xX或x X 经典集合常见概念术语: 论域(U):被考虑对象的所有元素的全体称为论域。 空集( ):不含任何元素的集合。,模糊数学与模糊推理,子集:集合A的每一个元素都是B的元素,则称A是B的子集,,幂集:若U是论域,则以U的所有子集为元素的集合称为U的幂集,记为:P(U)。 交集:同时属于A和B的元素组成的集合为P,则称P是A和B的交集,记
2、为:,且,并集:由属于A或B的元素组成的集合为S,则称S是A和B的并集,记为:,或,差集:由属于A但不属于B的元素组成的集合为Q,则称S是A和B的差集,记为:,且,补集:由论域U中不属于A的元素组成的集合称A在U中的补集,记为:,且,集合之间关系的文氏图表示:,集合的直积 两个集合A和B,直积定义为:,(x,y)称为序偶,(x,y) (y ,x),直积可推广到多个集合上去,设A1,A2,An,则,例:设备A=1,2,B=a,b,c,则,集合的运算性质 设A、B、C U,其并、交、补运算性质如下:,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 分配律,5. 吸收律,6. 同一律,7. 复原律,
3、8. 互补律,集合的表示及特征函数 描述一个集合的常用方法: 1. 通过描述集合中元素的性质来描述一个集合,如,A=x|x 为正整数,x5,2. 例举法(只适用于元素个数有限的集合),如,A=1,2,3,4,特征函数描述法 设A是U的一个子集,A U,xU,集合A的特征函数定义为,例,U是自然数集,A=1,2,3,4,则A的特征函数,A的特征函数在x处的 叫x属于A的隶属度,为1,x绝对属于A,为0,x绝对不属于A。,特征函数的性质:,三条运算性质:,模糊集合及其运算 经典集合论中,一物要么属于某集合,要么不属于某集合,二者居其一,没有模掕两可的情况,经典集合表达概念的内涵和外延都必须是明确的
4、。 内涵:一个概念所包含的那些区别于其它概念的全体本质属性。 外延:符合某个概念的事物的对象的全体。 如“人”这个概念,外延是世界上所有的人,而内涵是区别于其他动物的那些本质属性,如“能制造工具”,“具有抽象、概括、推理和思维能力”等。 人要表达一个概念,有两种方法,一种指出概念的内涵即内涵法。,另一种指出概念的外延即外延法,从集合论角度看,内涵是集合的定义,外延是组成集合的所有元素。内涵和外延是描述概念的两个方面。 人们思维中,有很多没有明确外延的概念,即模糊概念,语言中有很多模糊概念的词,如以年龄作论域,有“年青”,“中年”,“老年”,以身高作论域,有“高个子”,“中等身材”,“矮个子”。
5、以温度作论域,有“高温”,“中温”,“低温”等。 模糊概念不能用经典集合描述,经典集合中的元素绝对属于或绝对不属于集合,很难描述模糊概念基础上的集合。 例 :“高个子”,模糊子集定义及表示 设给定论域U,U到0,1闭区间的任一映射:,确定U的一个模糊子集 , 称为模糊子集的隶属函数, 称为u对于 的隶属度,模糊子集也称模糊集合。 当 的值域为0,1时, 退化为经典子集,所以经典集合是模糊集合的特殊形态,模糊集合是经典集合的推广。,模糊集合的常用表达方式有: 1. U为有限集u1,u2,un时,,(1) 扎德表示法,,i=1,2,n,例1:论域U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,讨论“
6、几个”这一模糊概念。据经验 一个、二个或九个、十个,不用“几个”来表示,隶属度为0;五个、六个用“几个”表示最合适, 隶属度为1;四个、七个对“几个”概念的隶属程度为0.7;三个、八个对“几个”概念的隶属程度为0.3。,几个,的元素称为,几个,(2) 序偶表示法,几个,构成序偶集,(3) 向量表示法,几个,2. U为连续域时,扎德记法为,例2:以年龄为论域U=0,200,给出“年青”这一模糊集合的隶属函数。,连续域的关于“年青”的扎德表示:,(1)A与B的并(逻辑或)记为AB,其隶属函数定义为:,(2)A与B的交(逻辑与)记为AB,其隶属函数定义为:,(3)A的补(逻辑非)记为 ,其隶属函数定
7、义为:,1. 模糊子集的并、交、补运算,2. 包含和相等关系,3. 模糊子集运算的基本性质,设模糊集合A、B、CU (1)幂等律,(2)交换律,(3)结合律,(4)分配律,(5)吸收律,(6)同一律,(7)迪摩根律,(8)复原律,即,(9)对偶律,(10)互补律不成立,例:,模糊截集 约定:当u对于A的隶属达到或超过 者就算是A的成员,则A变成了经典子集 。 例:“高个子”是模糊集合,而“身高170cm以上的人”是经典集合。 设A是模糊集合,,(1),(2),称为A的强截集。,常见隶属函数,5.2 模糊矩阵与模糊关系 模糊矩阵定义及运算 1. 模糊矩阵,2. 模糊矩阵的并、交、补运算,例设模糊
8、矩阵R和S,3. 模糊矩阵的运算性质,设模糊矩阵R、S、T (1)幂等律,(2)交换律,(3)结合律,(4)分配律,(5)吸收律,(6)复原律,(7)对偶律,(8)对任意模糊矩阵R,有,0、E分别是零矩阵、全矩阵,(10)互补律不成立,模糊矩阵的截矩阵 设R是模糊矩阵,对任意的 ,记,其中,例,当,时,求相应的截矩阵。,例,设,模糊矩阵合成运算性质,(1)结合律,推论:,(2)分配律,对与“交”运算,不满足分配律,(3),其中,0为零矩阵,I为单位阵,合成运算不满足交换律,即,例,模糊矩阵的转置,同普通矩阵转置一样,行变列,列变行。性质如下:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),模
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