模煳聚类分析.ppt
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1、模糊聚类分析,模糊矩阵,模糊矩阵 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 模糊矩阵的合成 模糊矩阵的转置 模糊矩阵的截矩阵,模糊矩阵,设R = (rij)mn,若0rij1,则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时,称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时,称R为模糊自反矩阵.,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵,定义 相等:A = B aij = bij; 包含:AB aijbij; 并:AB = (aijbij)mn; 交:AB = (aijbij)mn; 余:Ac = (1- aij)mn
2、.,设A = (aik)ms,B = (bkj)sn,称模糊矩阵 A B = (cij)mn, 为A 与B 的合成,其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 定义:若A为 n 阶方阵,定义A2 = A A,A3 = A2 A,Ak = Ak-1 A.,模糊矩阵的合成,模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵,其中aijT = aji.,转置运算的性质:,性质1:( AT )T = A; 性质2:( AB )T = ATBT, ( AB )T = ATBT; 性质3:( A B )T = BT AT;( An )T =(
3、 AT )n ; 性质4:( Ac )T = ( AT )c ; 性质5:AB AT BT .,模糊矩阵的截矩阵,设A = (aij)mn,对任意的0, 1,称 A= (aij()mn,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij 时,aij() =1; 当aij 时,aij() =0. 显然,A的 - 截矩阵为布尔矩阵.,模糊聚类分析,模糊关系 模糊等价矩阵 模糊相似矩阵 模糊聚类分析的一般步骤,模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样,模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X,Y,X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0
4、,1. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的相关程度. 特别地,当 X =Y 时,称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R,R1,R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等:R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y); 包含: R1 R2 R1(x, y)R2(x, y); 并: R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y); 交: R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x,
5、y)R2(x, y); 余:Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度, (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度,Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn,则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示,即 R = (rij)mn, 其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )关于模糊关系R 的相关程度.
6、 又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时,模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 设X = x1, x2, , xm,Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn,且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)ms ,Y 到Z 的模糊关系R2 =
7、(bkj)sn ,则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成: R1 R2 = (cij)mn 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊等价矩阵,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系,且满足: (1)自反性:R(x, x) =1; (2)对称性:R(x, y) =R(y, x); (3)传递性:R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足:,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R.,R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .,
8、当时, R的分类是R分类的加细.当由1变到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类,这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类,故R是模糊等价矩阵 再令由1降至0,写出,按分类, 以此类推,可以得到:,1 0.8 0.6 0.5 0.4, ,r 5 4 3 2 1,于是,得到动态聚类图如右图所示,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系,且满足: (1) 自反性:R( x , x ) = 1; (2) 对称性:R( x , y ) = R( y , x ) ; 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X =
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