抛物线.ppt
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1、9.7 抛物线,基础知识 自主学习,要点梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距 离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .,相等,焦点,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线方程是 ( ) A.x= B.x= C.y= D.y= 解析 抛物线方程为x2=- y, p= ,准线方程为y= .,D,2.若aR,则“a3”是“方程y2=(a2-9)x表示开 口向右的抛物线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可
2、得 a2-90,即得a3或a-3, “a3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的 抛物线”的充分不必要条件,故应选A.,A,3.(2009湖南)抛物线y2=-8x的焦点坐标是 ( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析 y2=-8x,p=-4,焦点坐标为(-2,0).,B,4.设a0,aR,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为( ) A.(a,0) B.(0,a) C. D.随a的符号而定 解析 抛物线标准方程为x2= y, 当a0时,p= ,焦点坐标为 ; 当a0时,p=- ,焦点坐标为,C,5.(2009宁夏,海南)已知抛物线C的顶点在坐 标原点,焦
3、点为F(1,0),直线l与抛物线C相交 于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的 方程为 . 解析 因为抛物线顶点在原点,焦点F(1,0), 故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2), 则y =4x1,y =4x2. (y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2), kAB= =1, 直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.,y=x,题型一 抛物线的定义 【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物 线上的动点,又有点A(3,2). (1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值 时P点的坐标; (2)求点P到点B 的距离与点P到直线 x
4、=- 的距离之和的最小值.,题型分类 深度剖析,(1)由定义知,抛物线上点P到焦点 F的距离等于点P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. (2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 (1)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y= .,思维启迪, 2,A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l:x=- 的距离为d, 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当PAl时,|PA|+d最小,最小值为 , 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 代入y2=2x,得x=2,点P坐标为(2,2). (2)由于直线x=- 即为抛物线的准线
5、, 故|PB|+d=|PB|+|PF|BF|, 当且仅当B、P、F共线时取等号. 而|BF|= |PB|+d的最小值为 .,探究提高 重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是曲线y2=4x上的一个动点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线 x=-1的距离之和的最小值; (2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求 |PB|+|PF|的最小值.,知能迁移1,解 (1)如图所示,易知抛物 线的焦点为F(1,0),准线是x=-1, 由抛物线的定义知:点P到
6、直线 x=-1的距离等于点P到焦点F的 距离.于是,问题转化为:在曲 线上求一点P,使点P到点A(-1,1) 的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然, 连结AF交曲线于P点,故最小值为 ,即 .,(2)如图所示,自B作BQ垂直准 线于Q,交抛物线于P1,连接P1F 此时,|P1Q|=|P1F|, 那么,|PB|+|PF|P1B|+|P1Q| =|BQ|=4,即最小值为4.,题型二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上, 又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距 离为5,求m的值,并写出此抛物线的方程. 因点A(m,-3)在直线y=-3上,所以
7、抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情 况,必须分类讨论.,思维启迪,解 若抛物线开口方向向下,设抛物线方程为 x2=-2py (p0),这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, 抛物线方程为x2=-8y, 这时将点A(m,-3)代入方程,得m=2 . 若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方 程为y2=2ax (a0),从p=|a|知准线方程可统一 成x=- 的形式,于是从题设有 解此方程组可得四组解,y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .,探究提高 抛物线的标准方程有四种,在求解过程 中,首先要根据题目
8、描述的几何性质判断方程形式, 若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,可设为 x2=ay (a0)或y2=ax (a0),然后利用待定系数法 和已知条件求解. 根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左 顶点; (2)过点P(2,-4).,知能迁移2,解 (1)双曲线方程化为 左顶点为 (-3,0), 由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p0)且- =-3, p=6,方程为y2=-12x. (2)由于P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标 轴, 可设方程为y2=mx或x2=ny, 代入P点坐标求得m=8,n=-1, 所求抛物线方程为y2=8x或x
9、2=-y.,题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】 (14分) (2008山东) 如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p0),M为直线y=-2p上 任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 . 求此时抛物线的方程.,(1)证明 由题意设 x1x2, M(x0,-2p). 由x2=2py得y= ,则y= , 所以kMA= ,kMB= . 2分 因此,直线MA的方程为y+2p= (x-x0), 直线MB的方程为y+2p= (x-x0). 所以, 4分,由、得 =x1+x2-x0
10、, 因此,x0= 即2x0=x1+x2. 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 6分 (2)解 由(1)知,当x0=2时, 将其代入、,并整理得: x -4x1-4p2=0,x -4x2-4p2=0, 所以,x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根, 8分 因此,x1+x2=4,x1x2=-4p2, 又kAB=,所以kAB= . 10分 由弦长公式得 |AB|= 又|AB|=4 ,所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y. 14分,探究提高 (1)标准形式的抛物线上点一般设高次 项变量,如本题设抛物线上点的坐标为 形式,就减少了变量,使运算量减小; (2)处理多个
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