排队论课件ppt课件.ppt
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1、随机过程与数学建模,吉林大学 方沛辰,随机性和确定性是一对矛盾,它们既对立又统一。一般的问题 不是能明确划分的,常常两种性质都有,用不同的假设来处理。,1.随机型问题,随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优。 因此首先需要知道概率分布,再写出目标函数的数学期望的表 达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望。,例题:一个私人牙科诊所很受欢迎,病人络绎不绝。来的有,三种病,一名医生每天上午和下午分别工作3.5小时,都是早8点挂的号,上午和下午分别挂多少号最适合?,平均看一个病人的时间显然是35分钟,3.5小时应该看6人。,大家想过没有,这样将会有一半的时间不能正常吃午饭!,如果6个
2、人都是C病,全看完要9个小时!,那我们应该有什么样的结论呢?好像没什么好做的。真正要解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。,再举一例:豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进,一旦羊发现了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的豹,到了15米羊就必然发现豹,怎样描述羊和豹在相距x米时的发现概率。这是一个很让人深思的问题。,从视觉角度看发现一个物体应该和物体的像的面积成正比,,这样概率可看作是x的函数p(x),并且是在15处取1,50处取0, 中间是递减的,进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度函数,那它是什么呢?,2.随机过程初步知识,在概率论中学过随机向量(x1,x2,xn),相
3、关学过联合分布、边缘 分布、条件分布等概念,一起研究许多个比单个研究方便。,把随机向量的概念推广,一起研究无穷多个随机变量,就是随机过程。注意无穷多有两种:可列多和连续多,对应就有随机序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。,例1 用x(t,)记(0,t)中电话接到的呼叫数。不同的t是不同 随机变量,不同的是不同的样本曲线。,例2 用x(t,)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。,例3 用x(n,),n=1,2,记相互独立同分布的伯努利随机变量序列,取值0和1,相应概率q和p,称为伯努利过程。 取值为0,1,2,称为二项计数过程,或随机游动。,例4 用x(n,)记第n代生物群体的数量。
4、,定义 设X(t),t0是一个随机过程,取定t,X(t)是一个随机变量,它的分布函数,称为X(t)的一维分布函数,相应也有一维概率密度等概念。,定义 设X(t),t0是一个随机过程,取定s,t,X(s),X(t)是一 个二维随机变量,它的分布函数,称为(X(s),X(t)的二维分布函数。,定义 设X(t),t0是一个随机过程,取定t1,t2,tn, X(t1),X(t2),X(tn)是一个n维随机变量,它的分布函数,随机过程的数字特征,对于,称为均值函数;,定义:,称为方差函数;,称为协方差函数;,称为相关函数;,介绍一本教材:研究生教学用书 “随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院 陈良均
5、 朱庆棠 高教出版社,定义:如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,tnT,随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立,称过程是独立过程。,3.几种重要的随机过程,例 伯努利过程是独立过程。,定义:如果对任意的正整数n及任意的t1t2tn,随机过程的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)相互独立,称过程是独立增量过程。,定义:如果独立增量过程对任意的s,tT及任意的h0,随机变量X(t+h)-X(s+h)与X(t)-X(s)有相同的概率分布,称过程是平稳的独立增量过程。,例 二项计数过程是平稳的独立增量过程,性质1 如果X(t),t0是平稳
6、独立增量过程,X(0)=0,则 (1)均值函数 m(t)=mt, m为常数; (2)方差函数 D(t)=2t, 为常数; (3)协方差函数 C(s,t)=2mins,t。,性质2 独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定。,定义:给定随机过程X(t),tT如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,tnT,随机变量X(t1),X(t2),X(tn)的联合概率分布为n维正态分布,称过程X(t),tT是正态过程(高斯过程)。,定义:如果随机过程W(t),tT满足下列条件: (1)W(0)=0; (2)EW(t)=0; (3)具有独立增量; (4)t0,W(t)N(0,2t),(0) 称W(t)
7、,tT是参数为2的维纳过程。,性质1 维纳过程是平稳独立增量过程。,性质2 维纳过程是正态过程。,性质3 维纳过程是马尔可夫过程。,性质4 维纳过程是均方连续、均方不可导、均方可积二阶矩过程。,性质5 维纳过程是非平稳过程,但为平稳独立增量过程。,4.泊松过程,定义1:如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足: (1)N(0)=0; (2)具有独立增量; (3)对任意的0st,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)的泊松分布, 称N(t), t0是参数为的(齐次)泊松过程。,定义2:如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足: (1)N(0)=0; (2)具有平稳独立增量; (3)PN(
8、h)=1=h+o(h); (4) PN(h)2=o(h). 称N(t), t0是参数为的(齐次)泊松过程。,可证,定义1与定义2等价。所以复旦数学系的概率书上的结论是: 满足:平稳性、普通性和马尔可夫性三性质的就是泊松过程。,泊松过程是非常重要的一种随机过程,应用很广。下面我们仔细学习这个过程。考虑在0,t)内:,(1)到达某超级市场的顾客数N(t); (2)某电话交换台的呼唤数N(t); (3)某车间发生故障的机器数N(t); (4)某计数器收到的粒子数N(t); (5)某通讯系统出现的误码数N(t)等都是典型实例。,一维分布 t0,N(t) P(t),二维分布 ts0,协方差函数 C(s,
9、t)=min(s,t),相关函数 R(s,t)=min(s,t)+2st,泊松过程的性质,性质1 泊松过程是平稳独立增量过程;,性质2 泊松过程是马尔可夫过程;,性质3 泊松过程是生灭过程;,性质4 泊松过程是均方连续、均方不可导、均方可积的二阶矩 过程;,性质5 泊松过程是非平稳过程,但为平稳增量过程;,N(t)表示0,t)内出现的事件次数,用1,2,n分别表示 第一、二、n次事件发生的时间,称k为事件第k次出现的 时间,又叫事件点;Tk表示从第k-1次事件发生到第k次事件的 等待时间,又称为点间间距。,Tk= k- k-1,k=1,2, n, 0=0 k =T1+T2+Tk,k=1,2,n
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