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1、流体力学C,第二章,流体静力学,第二章 流体静力学,2-1 静止流体的应力特征,2-2 流体平衡的微分方程及其积分,2-3 重力作用下流体静压强的分布规律,2-4 流体压强的量测,第二章 流体静力学,2-6 静止液体作用在平面上的总压力,2-7 静止液体作用在曲面上的总压力,2-5 液体的相对平衡,第二章 流体静力学(6学时),一、本章学习要点:,平衡流体的应力特征,流体的平衡微分方程及其积分,流体静力学基本方程,流体静力学基本概念:等压面、绝对压强、,相对压强、真空值、测压管水头等,静止液体总压力的计算,液体的相对平衡,二、本章重点掌握:,流体静压强的计算,静止液体总压力P计算,2-1 平衡
2、流体的应力特征,证明:采用反证法, 其要点如下:,2 因流体几乎不能承受拉应力,故p指向受压面。,1 因平衡流体不能承受切应力,即=0,故p垂直受压面;,方向性: 流体静压强p垂直指向受压面,大小性:平衡流体中任一点的静压强大小与其作用面的方位无关,证明:,在平衡流体中取如图所示微小四面体OABC,分析作用在四面体上的力,列x、y、z三个方向力的平衡方程,当四面体的体积趋于零时,可证得px= py=pz=pn 即 p=p(x,y,z),2-2 流体的平衡微分方程及积分,一、流体的平衡微分方程,在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面体在x、y、z方向所受外力,列平衡方程,整理化简得,上式
3、也可用矢量方程表示:,上式即为流体的平衡微分方程,亦称欧拉平衡微分方程。对不可压缩和可压缩流体均适用。,二.流体平衡微分方程的积分,将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以dx、dy、dz,然后相加,得,故得欧拉平衡微分方程综合式(即全微分形式),上式称为流体平衡微分方程的综合式。,而,又,故有,(2-7),(2-6),(2-5),满足式(2-7)的W函数,称为力的势函数。,将式(2-6)代入式(2-5),得,积分上式,得,根据边界条件,确定积分常数C,则上式可得,(2-8),(2-9),式(2-9)即为不可压缩流体平衡微分方程积分后的普遍关系式,三.帕斯卡定律,四.等压面,1.定义: p=C或dp=
4、0的平面或曲面。 2.等压面微分方程,3.等压面的性质 (1)等压面与等势面重合; (2)等压面恒与质量力正交。,或,2-3 重力作用下流体静压强的分布规律,一.流体静力学基本方程,(2-11),对于静止流体中任意两点,式(2-11)可写成,(2-12),或,对于液体,如图所示,若液面压强为p0,则由式(2-12)可知液体内任一点的静压强为,(2-13),式(2-13)为不可压缩静止液体的压强计算公式,通常亦称为水静力学基本方程。该式表明:,(1)在静止液体中,压强随淹没深度按线性规律增加; (2)静止液体的等压面为水平面(等高面)。,通常建筑物表面和自由液面都作用着当地大气压强pa。在工程技
5、术中,当地大气压的大小常用一个工程大气压(相当于海拔200m处的正常大气压强)来表示。一个工程大气压(at)的大小规定为相当于735mm汞柱或10m水柱对其柱底所产生的压强。 二.绝对压强、相对压强、真空值 绝对压强p, 绝对压强不可为负 相对压强(计示压强、表压强)p,(2-14),相对压强可正可负 真空压强(真空值)pv,(2-15),上述绝对压强、相对压强及真空值三者的关系如图所示,真空值恒为正值,例2-1 如图所示封闭盛水容器的中央玻璃管是两端开口的,已知玻璃管伸入水面以下1.5m时,即无空气通过玻璃管进入容器,又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强p0和相对压强p0。,三.
6、流体静压强分布图 1.绘制液体静压强分布图的知识点 流体静力学基本方程; 平衡流体中的应力特征(大小性、方向性)。,2.液体静压强分布图的绘制方法 (1)根据水静力学基本方程,计算出受压面上各点压强的大小,用一定长度比例的箭头线表示各点的压强,箭头线必须垂直并指向作用面; (2)对于不可压缩液体,重度为常量,p与h呈线性关系,当受压面为平面时,只需用直线连接箭头线的尾部,即可得到压强分布图;而当受压面为曲面时,由于曲面上各点的法向不同,因此需用曲线连接箭头线的尾部。,练习:绘出图示AB壁面上的相对压强分布图,四.测压管高度、测压管水头及真空度,测压管高度用测压管内的液体高度表示的液体中任意点的
7、相对压强,即 。 测压管水头任一点测压管高度 与该点相对于基准面的位置高度z之和,即,真空度hv用液柱高度来表示的真空值pv。 举例说明测压管高度、测压管水头等概念。,练习:图示给水管路出口阀门关闭时,试确定管路中A、B两点的测压管高度和测压管水头,2-4 流体压强的量测,1.测压管,2.U形管测压计,3.U形管真空计 4.U形管差压计 5.复式测压计,2-5 液体的相对平衡,相对平衡液体相对于地球虽有运动,但液体本身各质点之间却没有相对运动。 研究特点:建立动坐标系。 注意:与重力作用下的平衡液体所不同的是,相对平衡液体所受质量力除了重力,还有牵连惯性力。,1.直线等加速容器中液体的相对平衡
8、,将其代入液体平衡微分方程的综合式后,得,积分得,当x=z=0时,p=p0,得C=p0,代入上式后,得,建立如图所示的动坐标系,则,等压面微分方程:,积分得等压面方程:,液面方程:,2.等角速旋转容器中液体的相对平衡 设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速度旋转,如图所示。对于液体内任一质点A(x,y,z),其所受单位质量力在各坐标轴方向的分量为,将其代入流体平衡微分方程综合式,得,积分上式,得,在坐标原点(x=0,y=0,z=0)处,p=p0,得C=p0,并有x2+y2=r2,将其代入上式,得,等压面方程:,液面方程:,例.如图所示顶盖中心开孔的圆柱形容器,直径d=600mm,高H=50
9、0mm,盛水深至h=400mm,余下部分盛满相对密度为0.8的油。若容器绕其中心轴旋转,问转速n为多大时油面开始接触到底版?并求此时顶盖和底板上的最小、最大相对压强。,水,油,H,h,pa,d,2-6 静止液体作用在平面上的总压力,确定静止液体作用在受压面上的总压力的大小、方向和压力作用点是许多工程技术上必须解决的工程流体力学问题。如水池、船闸及水坝的设计等。,一. 解析法,作用在平面ab上的总压力为,(2-26),式(2-26)的意义:静止液体作用在任意方位、任意形状平面上的总压力P的大小等于受压面面积与其形心处相对压强的乘积。,1.总压力的大小,2. 总压力的方向 总压力P的方向垂直并指向
10、受压面。,3.总压力P的作用点D的确定 利用合力矩,对Ox有,或,化简整理上式,得,(2-27),根据惯性矩的平行移轴定理,式(2-27)又可写成,(2-28),求D点的x坐标(自己推导)。 例1.某处设置安全闸门如图所示,闸门宽b=0.6m,高h1= 1m,铰接装置于距离底h2= 0.4m,闸门可绕A点转动,求闸门自动打开的水深h为多少米。,例2.求图示封闭容器斜壁上的圆形闸门所受的静水总压力及作用点。已知闸门直径d=2m,a=1m,=60。,容器内水面的相对压强pe0=98.1KN/m2。,2.图算法 如图所示矩形平面,其相对压强分布图为三角形,则总压力为:,上式表明,静止液体作用在矩形平
11、面上的总压力恰等于以压强分布图的面积为底,高度为b的柱体体积。,其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。当相对压强分布图为三角形时,D点位于自由液面下(2h)/3处。,对于相对压强分布图为梯形情况,可将其分解成三角形和矩形两部分进行计算后,最后利用合力矩定理求总压力作用点。,例3.铅垂放置的矩形平板闸门,面板后布置三根横梁,各横梁受力相等,已知闸门上游水头H=4m,试求: (1)每根横梁所受静水总压力的大小; (2)各横梁至水面的距离。,2-7 静止液体作用在曲面上的总压力,1.总压力的大小和方向,dP垂直于面积dA,与水平线成角。为便于分析,将dP分,解成水平分力dPx和垂直分
12、力dPz两部分,在整个受压面上对dPx、 dPz积分,得总的水平分力Px和垂直分力Pz。,作用在整个曲面上的水平分力Px为,作用在整个曲面上的垂直分力Pz为,式中:,是压力体的体积;Az是受压面在水平面的投,影面积。,总压力的大小和方向,2.总压力作用点的确定 水平分力Px的作用线通过Ax的压力中心;,铅垂分力Pz的作用线通过VP的重心; 总压力P的作用线由Px、Pz作用线的交点和,确定;,将P的作用线延长至受压面,其交点D即为总压力在曲面上的作用点。,3.压力体的概念 (1)压力体仅表示 的积分结果(体积),与该体积内是否有 液体存在无关;,(2)压力体一般是由三种面所围成的体积,即 受压曲
13、面(压力体的底面); 自由液面或自由液面的延长面(压力体的顶面),由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面(压力体的侧面)。,(3)压力体的虚实性,实压力体:压力体和液体在受压曲面的同侧,Pz向下; 虚压力体:压力体和液体在受压曲面的异侧, Pz向上。,实压力体,虚压力体,例4:试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆柱面,宽度为1m,d=3m,试求abc柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。,解 因abc曲面左右两侧均有水的作用,故应分别考虑。,考虑左侧水的作用,阴影部分相互抵消,abc曲面(虚压力体),考虑右侧水的作用,bc段曲面(实压力体),左右合成,abc曲面(虚压力体),例5.试绘出图中曲面上的压力体,例6.图示为一贮水设备,已知h=1.5m,R=1.5m,金属测压计读数为98.1kPa,试求作用在半球面AB上的总压力。,例7.半径R=0.2m、长度l=2m的圆柱体与油(比重为0.8)水接触情况如图所示,圆柱体右边与容器顶边成直线接触,试求: 圆柱体作用在容器顶边上的力; 圆柱体的重量。,
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