曲线曲面基本理论课件.ppt
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1、曲线曲面基本理论,图形的计算机表示,图形的计算机表示是形状信息计算机表示、分析和综合的核心。 即:要解决既适合计算机处理,且有效地满足形状表示与几何设计的要求,又便于形状信息传递和数据交换的形状描述的数学方法。 形状数学描述应保留对象形状的尽可能多的性质。,图形表示问题 形状描述要求 参数化表示 离散点表示,形状数学描述的要求,从计算机对形状的处理、便于形状信息传递与数据交换的角度来看应满足如下要求: 唯一性:由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。 几何不变性:形状相对位置确定后,形状应不随所取的坐标系改变而改变。 易于定界:容易界定参变量取值范围。 统一性:能统一表示各种形状及处理各种情况,
2、包括各种特殊情况。即:既能表示自由型曲线曲面,又能表示初等解析曲线曲面。 计算处理简便易行。 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。 易于实现连接,且在许多场合要求的光滑连接。 易于实现对形状的控制,既具有整体控制的能力,又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。 几何直观,几何意义明显。,图形表示问题 形状描述要求 参数化表示 离散点表示,曲线曲面参数化表示问题,曲线和曲面可由给定数学函数生成,曲线和曲面的函数方程能表示为参数形式或非参数形式。 对计算机图形应用而言,参数表示一般更方便些。 曲线曲面的参数化 给定一个具体的单参数的矢函数,并据此给出一个具体的参数曲线曲面方程。 既决定了所
3、表示曲线曲面的形状; 也决定了该曲线曲面上的点与其参数域内的点(即参数值)之间的一种对应关系。 在曲线曲面理论中,所要考察的在于两个方面: 曲线曲面的整体,而不是组成这个整体的各个分量; 曲线曲面上点之间的相对位置关系,而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线参数化概念,空间曲线上一点P的每个坐标被表示为某个参数u的函数: x=x(u), y=y(u), z=z(u), 位置矢量:三个坐标分量就组成曲线上该点的位置矢量,曲线就可表示为参数u
4、的矢函数: P(u)=(x(u),y(u),z(u)。 参数区间:描述形状的参数曲线总是有界的,可以方便地用参数区间表示: uu1,u2,或u1uu2。 参数曲线里的参数可能具有某种几何意义, 如:圆参数方程P()=(rcos,rsin)(0/2)中的参数; 参数曲线里的参数也可能无任何几何意义, 如:三次多项式方程x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx(0u1)中的参数u。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线参数化方法,对于标量显函数方程如y=y(x),只需: 将其中变量
5、换成参数u; 将函数值y换成位置矢量P(u); 将标量系数相应换成为系数矢量; 各阶导数d(k)y/dxk换成导数矢量d(k)P(u)/duk。 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式(如:三次样条曲线有三次样条函数,Bzier曲线有Bernstein基函数等),所以,这种对应关系与替换绝非是等价的。 而对于非参数形式下的隐方程,则可转换成等价的参数形式,只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数,使它们适合于该隐式方程。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线参数化:对应关
6、系,曲线形状确定后,曲线上的点与参数域内的点的对应关系是指:曲线上点沿曲线弧长的分布情况与点的参数值在参数域的分布情况之间对应。 这种对应关系与参数选取有关:仅在曲线取自身弧长或弧长的线性函数为参数时,参数域内线段长度之比才等于曲线上对应曲线段弧长之比。,在正常情况下,曲线上参数为u 的点P(u)与参数u轴上定义域内的点一一对应。 凡在曲线上这种映射关系不成立的点称为奇点。 曲线的自交点,即重点对应两个参数值就是奇点。 同一条曲线的参数化不是唯一的: 差别:曲线上点与参数域内的点之间的对应关系不同。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质
7、 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线的参数化:性质,曲线上的点是参数u的矢函数。 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导,其结果为一矢量,称为导矢;一阶导矢称为切矢。 切矢以及各阶导矢都是相对矢量,可在空间内任意平移。 曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点。若曲线在其参数域内处处切矢为非零矢量,则称该参数化为正则的,所定义的曲线称为正则曲线。 曲线采用参数表示后,就有了方向。 曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。 曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。 若曲线某点的切矢为零向量,则该点的方向可由在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。,图形表示问题 参数化表示 曲线
8、参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,给定一个具体的曲面的方程,称之为给定了一个曲面的参数化。 它既决定了所表示曲面的形状,也决定了该曲面上的点与其参数域内的点之间的一种对应关系。,曲面的参数化:概念,曲面可表示为参数u、v的矢函数P=P(u,v)描述。 曲面的范围 常用两个参数的变化区间所表示的uv参数平面上的一个矩形区域:u1uu2、v1vv2给出。 这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。 也可定义在uv参数平面的某一区域上,用u,v给出。 正常情况下,参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。曲面
9、上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲面的参数化:性质,曲面的参数化不是唯一的。 参数曲面上存在两簇等参数线:一簇u线和一簇v线: 固定uv两参数中的一个(u=u0或v=v0)而使曲面方程成为单参数P=P(u0,v)或P=P(u,v0)的矢函数,表示曲面上一条以v或u为参数的曲线(u线或v线)。 曲面上任一点处总有一个u向切矢pu(u线关于u的偏导矢)和一个v向切矢pv(v线关于v的偏导矢)。 若该点处两个切矢不平行,即pupv0的点称为曲面的
10、正则点。 曲面上pupv=0的点是曲面上的一种奇点。 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同: 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起,就可由重新参数化(参数变换)消除; 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,参数表示的优点,与非参数相比,参数方法具有优点: 几何不变性:总是能选取那些具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式,且能通过某种变换处理使某些不具有几何不变性的形式具有几何不变性。 易于规定曲线、曲面的范围。 易于表示空间曲线。 易执行仿射
11、变换和投影变换。 易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。 易于处理多值问题。 易于处理无穷大斜率。 便于曲线的分段、分片描述。 提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。 为向高维问题推广提供了可能性。 隐式方程在曲线和曲面上点相对位置的判断和求交方面具有优势。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线曲面的基表示,曲线曲面可由某一组基函数及其相联系的系数矢量来给出: ai为系数矢量; p()与i()根据曲线和曲面而有所不同: 对于曲线,p()与i()分别为单参数的矢函数及以该参数为变量的
12、基函数; 对于曲面,p()与i()分别为双参数的矢函数及其以双参数为变量的基函数; 上式称为曲线曲面的基表示。 表示曲线、曲面的数学方法不同就表现在所采用的基函数不同。 基函数一旦决定,系数矢量也就完全定义了曲线、曲面。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,基表示的几何不变性,按照所采用基函数的规范程度,基表示可分为三种类型: 规范基表示:曲线或曲面上的整体满足柯西条件: 例如:线性插值:P(u)=(1-u)P0+uP1。 部分规范基表示:曲线或曲面上的部分段(片)满足: 例如:P(
13、u)=a0+a1u。 非规范基表示:除了上述两种以外的情况。 例如:P(u)=(1-u)2P0+u2P1。 曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系选择,或者说在旋转与平移变换下不变的性质。 规范基和部分规范基表示具有几何不变性; 而非规范基表示不具有几何不变性。,图形表示问题 参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性 离散点表示,曲线曲面的离散点表示,曲线和曲面可由给定数学函数生成,或由用户给定一组数据点生成。 数学函数:规则曲线和规则曲面: 圆、抛物线、螺旋线等曲线和球、圆柱、圆锥等曲面都不难用数学方程式
14、表示出来,这类曲线和曲面分别称为规则曲线和规则曲面。 数据点:自由曲线和自由曲面: 曲线和曲面的形状相当自由又不规则,如飞机机翼、汽车车身、人体外形、卡通形象等,很难用数学式表示,这样的曲线和曲面分别称为自由曲线和自由曲面。 当用离散坐标点来指定物体形状时,则要根据应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。 样条是这类曲线和曲面的范例。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,离散点拟合曲线和曲面的方式,自由曲线和自由曲面一般通过少数分散的点生成,这些点叫做“型值点”、“样本点”或“控制点”。 要根据应用要求得到最贴
15、近这些点的函数式描述。这种情况称为“曲线曲面的拟合” 在进行曲线曲面拟合时,一般遇到以下三种情况: 插值:利用一些数学方法是曲线曲面按要求通过已知的点,而且具有一定的光滑流畅程度。 逼近:曲线曲面不一定通过给定的点,但是靠近各点,每个点对曲线曲面都有某种看不见的吸引力。 设计:已知的点太少,需要根据实际情况增加一些控制点,然后用上述两种方法之一生成曲线曲面。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,参数样条曲线,参数样条曲线可从“参数”和“样条”这两个意思上去理解。 参数是指曲线方程中使用的自变量,当它在某个范围
16、内改变时,对应坐标点在曲线上移动。 “参数曲线”是指用参数作为自变量的函数曲线, 有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。 例如,直线段的矢量形式为: P(t)=(1-t)P0+tP1; 其参数形式可抽象为: P(t)=0(t)P0+1(t)P1, 式中:1(t)为(1-t),1(t)为t。1(t)和1(t)叫做“混合函数”、“权函数”或“基函数”, 它们表示随着t从0到1变化,P0和P1对整个线段所作的贡献。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条
17、 插值样条类型,样条曲线的概念,在绘图术语中,样条是通过一组指定点集来生成平滑曲线的柔性带。 样条原指一种绘图工具,它用柔软细长的弹性木条或金属条构成。绘图员可使之弯曲变形,以便通过若干已知的数据点,然后用铅笔顺着它将曲线绘出。 实际上,曲线绘制时,几个小的“权重”沿“柔性钢条” 长度分配,并固定在绘图位置上绘制的曲线。 数学中的样条含意是指模仿上述过程的一种的数学方法,用这种方法生成的曲线叫做“样条曲线”: 样条曲线通常有多段低次曲线段构成,用分段多项式函数来描述,其连接处有连续的一次和二次导数 。 其中三次样条曲线段最为常见:所谓三次是指曲线用多项式表示时,多项式中幂的最高次数是3。 参数
18、样条曲面通过用两个参数对样条曲线的推广获得。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,样条曲线的应用,在计算机图形学中, 样条曲线指由多项式曲线段连接而成的曲线。 在每段的边界处满足特定连续条件。 样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 在图形学应用中使用几个不同的样条描述 每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊类型。 用来设计曲线和曲面形状; 用来对图形数字化以便存入计算机; 用来标识场景中物体或摄影的动画途径。 样条曲线由控
19、制点定义、建模和管理。 控制点给出曲线的大致形状。 通过交互选择控制点空间位置,经多项式拟合后可显示初始曲线。 设计者可重定位部分或全部控制点以重建曲线的形状, 通过对控制点进行变换,可平移、旋转或缩放曲线。 CAD软件包可插入另外的控制点来调整曲线形状。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,参数样条分类:插值和逼近,根据控制点选取分段连续多项式函数: 若选取的多项式使所得曲线通过每个控制点,则所得曲线称为这组控制点的插值样条曲
20、线; 插值曲线常用于绘图或动画设计, 若多项式选取使得曲线不一定通过每个控制点,所得曲线称为这组控制点的逼近样条曲线。 逼近曲线一般用来构造物体表面。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,参数样条性质,包围一组控制点的凸多边形边界称为凸包。 凸包提供曲线或曲面与围绕控制点区域间偏差的测量。 凸包内部的多边形区域也可用于裁剪等算法。 对于逼近样条,连接有一定次序控制点的直线序列通常称作曲线的控制图或控制多边形和特征多边形。 设计时
21、,控制多边形通常显示以提醒设计者控制点的次序。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,参数样条的统一表示方法,假设沿样条段路径有下列关于x坐标的三次参数多项式表示: x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx,(0u1) (1) 曲线的边界条件可设为:端点坐标和端点处的一阶导数。 这四个边界条件是决定系数ax、bx、cx和dx值的充分条件。 根据边界条件,将方程(1)写为矩形乘积形式: x(u)=u3 u2 u 1ax bx cx
22、 dxT=UC (2) U是参数u幂次行矩阵,C是系数列矩阵。 运用方程(2)可写出矩阵形式的边界条件,并求得系数矩阵: C=MsplineMgeom (3) Mgeom是包含样条几何约束值(边界条件)的4元素列矩阵 包含控制点的坐标值和其它已被指定的几何约束。 Mspline是44矩阵,它将几何约束值转化成多项式系数且提供样条曲线特征,有时称基本矩阵,对样条表示间的转换特别有用。 这样,方程(2)可表示为: x(u)=UMsplineMgeom (4),图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条
23、统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,参数样条基函数表示方法,扩展方程(4)可得到关于坐标x的几何约束参数多项式表示: ai是约束参数, 如控制点坐标和控制点处的曲线斜率; i(u)是多项式混合函数或基函数。 有三个等价方法来计算特定样条曲线路径位置的混合函数或基函数: 列出一组加在样条上的边界条件; 列出刻划样条特征的行列式; 列出确定如何组合指定的曲线几何约束。,图形表示问题 参数化表示 曲线曲面性质 离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型,
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