第6章刚体动力学.ppt
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1、第6章 刚体动力学,猫习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,为什么会这样呢?,6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一. 力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,质点获得加速度,改变质点的运动状态,?,h,A,(1) 力对点的力矩,O .,(2) 力对定轴力矩的矢量形式,力矩的方向由右螺旋法则确定,(3)力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴 的力矩,讨论,例,已知棒长
2、 L ,质量 M ,在摩擦系数为 的桌面转动 (如图),解,根据力矩,dx,例如,在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对y轴的力矩,刚体的转动定律,作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴 的转动惯量,(1) M 正比于 ,力矩越大,刚体的 越大,(2) 力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同,二. 刚体对定轴的转动定律,实验证明,当 M 为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时, 与 M 成正比,而与J 成反比,(3) 与牛顿定律比较:,讨论,在国际单位中 k = 1,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力
3、矩 = 0,合外力矩 M,刚体的转动惯量 J,三. 转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,(1) J 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,(2) J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,四. 平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,(3) J 与转轴的位置有关,1. 平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心
4、的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,2. (薄板)垂直轴定理,M,L,例如求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内; z 轴垂直薄板。,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端,试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,五. 转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N 的拉力,飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计, (见图),一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的 ,O,l,m,C
5、,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩,dm,例,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例 一个刚体系统,如图所示,,已知,转动惯量,,现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一. 转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同, 但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转
6、轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,二. 力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若 M = C,( 积分形式 ),力的累积过程力矩的空间累积效应,. P,三. 转动动能定理, 力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2) 力矩的功就是力的功。,(3) 内力矩作功之和为零。,讨论,(1) 合力矩的功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l ,质量为 m 的
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