理论力学II.ppt
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1、理论力学 ( II ),第 三 章 分析力学基础,自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方程通式.,3 1 自由度与广义坐标,自由度: 独立的虚位移的个数. 广义坐标: 确定质点系空间位置的独立变量. : 在完整约束下, 自由度的个数与广义坐标的个数相等. 完整约束下, 若系统有n 个质点, s 个约束方程
2、, 则自由度N = 3n s,用直角坐标系下的投影表达为:,3. 广义力. 广义力的定义须用数学式表达. 这里要说的是: 广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念. 它与广义坐标直接相关, 不同的的广义坐标对应着不同的广义力.,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3N ),对于完整的理想约束下的力学系统, 质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,3 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件,Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力. ( k = 1、2、3N ),上式中令,所以,由于各广义坐标是互相独立的, 而虚位移是不能为零的. 因而
3、有:,即是: 如果质点系统平衡, 则各广义坐标对应的广义力分别为零.,例二. 平行四杆机构, 尺寸a、b、l 及力P、F 均为已知. 求: 平衡时 = ? = ?,解: 这是一个双自由度的力学系统. 选广义坐标、 . (、 分别为与水平线的夹角). 由本题的特点, 建立直角坐标系, 求出有关的虚位移. ( 不作功的虚位移不必求出).,由、 的独立性及 0 、0 必有:,注意前面这两行虚位移原理方程的展开式:,即是:,上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式. 如果一个有N个自由度的力学系统, 则虚位移原理的广义坐标的表达式为:,对比例题的结果, 不难理解这样一个结论: 对于完整理
4、想约束的力学系统, 其静止平衡的充要条件是: 对应于每一个广义坐标的广义力分别为零. 如果广义力不为零, 质点系必然运动. 描述其运动, 我们可用后面将要讲到的 拉格朗日方程.,解: 系统有两个自由度, 选广义坐标 x1 和x2 .,习题选解: 习 17 15 ( P275 ) 图示系统中, 重物P3 , 倾角 , 皆为已知. 不计摩 擦 , 忽略滑轮和绳子的质量. 求平衡时, 重物P1 和P2 的大小.,习 17 17 (P276) 杆系在铅垂面内平衡, AB = BC = l , CD = DE , 且AB, CE 为水 平, CB为铅垂. 均质杆CE 与刚度为 k1 的弹簧相连, 重为P
5、 的均质杆AB 的左端A 处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧. BC 杆上作用有线性分布载荷, 其最大的集度为q . BC 杆的重量不计. 求此时水平弹簧的变形量 和 螺旋弹簧的扭转角 .,解: 两个自由度. 选广义坐标 (螺旋弹簧的扭转角) 和 (线弹簧的伸长量),由广义坐标的虚位移原理:,对本题有:,由质点系的达朗伯原理:,由虚位移原理:,在理想约束下:,即是:,( 1 ) 式称为动力学普遍方程. 若用直角坐标分量来表达则为:,3 3 动力学普遍方程,( 2 ),例一: ( 书上 例18 2 ) 两个半径为r 的均质轮质量皆为m1 , 对轮心的转动惯量各 为J. 连杆的质量为m2 , 其两端
6、与两轮的轮心以铰链相连. 设圆轮在倾角为 的斜面上作纯滚动, 求轮心的加速度.,解: 设轮心的加速度为a . 系统的运动分析及达朗伯惯性力简化如图所示.,由动力学普遍方程:,例二 ( 书上例 18 3 ) 图中二均质圆柱轮质量皆为m , 半径皆为r . 轮I 绕O 轴转动, 轮II 上绕有细绳且细绳缠于轮I 上. 二轮在同一平面内运动. 若细绳的直线部分为铅垂时, 求轮II 的中心C 的加速度.,解: 运动分析及达朗伯惯性力简化如图.,根据动力学普遍定理, 则有:,代入上式中可得: ( 接后页),3 4 拉格朗日方程( 第二类),预备知识: 设一个完整约束的力学系统有n个质点( i = 1、2
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