离散傅里叶变换的定义.ppt
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1、3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质(重点) 3.3 频率域采样(重点) 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),3.1 离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列, 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为 X(k)的离散傅里叶逆变换为,式中, ,N称为DFT变换区间长度,NM, 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ,求x(n)的8点和16点DFT 解 设变换区间N=8
2、, 则,所以, 在变换区间上满足下式: IDFTX(k)= x(n), 0nN-1 由此可见, (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。,设变换区间N=16, 则,3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT分别为:,比较上面二式可得关系式,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于 的周期性,使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性,且周期均为N。对任意整数m,总有,均为整数,所以(3.1.1)式中,X(k)满足,同理可证明(3.1.2
3、)式中 x(n+mN)=x(n),实际上,任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列,而x(n)则是 的一个周期, 即,为了以后叙述方便, 将(3.1.5)式用如下形式表示:,图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓,式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列, (n)N表示n对N求余, 即如果 n=MN+n1, 0n1N-1,M为整数, 则 (n)N=n1 例如,,则有,所得结果附合图3.1.2所示的周期延拓规律。,如果x(n)的长度为N,且 =x(n)N,则可写出 的离散傅里叶级数表示为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),3.2
4、 离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列,长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b为常数,即N=maxN1, N2,则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列,长度为N,则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2),图 3.2.1 循环移位过程示意图,2. 时域循环移位定理
5、 设x(n)是长度为N的有限长序列, y(n)为x(n)的循环移位, 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 Y(k)=DFTy(n) = X(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,证明:,令n+m=n, 则有,由于上式中求和项x(n)N 以N为周期, 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得,3. 频域循环移位定理 如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则 y(n) = IDFTY(k)= x(n) (3.2.4),3.2.3 循环卷积定理* 有限长序列x1(n)和x2(n),长度分别为
6、N1和N2, N=max N1, N2 。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为: X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 则,(3.2.5),一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。下面先证明(3.2.5)式, 再说明其计算方法。 证明: 直接对(3.2.5)式两边进行DFT,令n-m=n, 则有,因为上式中x2(n) 以N为周期,所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中,要求对x2(m)循环反转,循环移位, 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同,故称之
7、为循环卷积, 记为,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,图3.2.2 循环卷积过程示意图,频域循环卷积定理: 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 则,(3.2.6),X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0),证明: 根据DFT的唯一性, 只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)
8、=X*(k) (3.2.8),3.2.5 DFT的共轭对称性* 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列,下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,则二者满足如下定义式: xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1 (3.2.10),当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-n可得到,上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称性的含义。如图3.2.3所示。图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,如
9、同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样, 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和, 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 x
10、r(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k),由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n)
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