离散型随机变量的均值与方差ppt课件.ppt
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1、要点梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为,12.6 离散型随机变量的均值与方差,基础知识 自主学习,(1)均值 称E(X)=_为随机变量X的均 值或_,它反映了离散型随机变量取值的_ _. (2)方差 称D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画 了随机变量X与其均值E(X)的_,其_ _为随机变量X的标准差.,x1p1+x2p2+xi pi+xn pn,数学期望,平均,水平,平均偏离程度,算术,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_. (2)D(aX+b)=_.(a,b为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(
2、X)=_. (2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),np(1-p),np,基础自测 1.已知 的分布列 则在下列式子中: 正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 答案 C,2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性质, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x =40x=,C,3.设随机变量 则 ( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 解
3、析,A,4.已知某一随机变量 的概率分布列如下,且 =6.3,则a的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,b=0.4. =40.5+a0.1+90.4=6.3.a=7.,C,5.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放 回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)= _. 解析,题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 【例1】 (2009湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 别占总数的 现有3名工人独立地从中任选一 个项目参与建设.
4、 (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望.,题型分类 深度剖析,思维启迪 (1)由相互独立事件的概率公式和互斥事 件的概率公式求解. (2)确定随机变量的所有可能值.用表示选择项目属 民生工程的人数,则可取值:0,1,2,3,=3-可取 值为:3,2,1,0. 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民 生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1
5、,2,3且i ,j、k 互不相同)相互独立,且,(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ,由已知,故的分布列是 的数学期望 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键 是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布 列,正确运用均值、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属二项 分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为 简单.,探究提高,知能迁移1 某中学组建了A、B、C、D、E五个不同 的社团组织,为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生 必须参加,且只能
6、参加一个社团.假定某班级的甲、 乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的. (1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法 种数; (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率; (3)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数,求的分布列与数学期望.,解 (1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方 法数是5种,故共有555=125(种). (2)三名学生选择三个不同社团的概率是 三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为 (3)由题意=0,1,2,3.,的分布列为 的数学期望,题型二 均值与方差性质的应用 【例2】设随机变量具有分布P(=k)= k=1,2,3, 4,
7、5,求E(+2)2,D(2-1), 利用性质E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D(). 解 ,思维启迪,E(+2)2=E(2+4+4) =E(2)+4E()+4=11+12+4=27. D(2-1)=4D()=8, 是随机变量,则=f()一般仍是随机 变量,在求的期望和方差时,熟练应用期望和方差 的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.,探究提高,知能迁移2 (2008湖北理,17)袋中有20个大小相 同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个 (n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标 号. (1)求的分布列、期望和方差; (2)若=a+b,E()=1,
8、D()=11,试求a,b的值. 解 (1)的分布列为,(2)由D()=a2D(),得a22.75=11,即a=2. 又E()=aE()+b, 所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.,题型三 均值与方差的实际应用 【例3】 (12分)(2008广东理,17)随机抽取某厂的 某种产 品200件,经质检,其中有一等品126件、二 等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、 二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元, 而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元) 为. (1)求的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即
9、的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降 为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的 平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?,思维启迪 确定随机变量写出随机变量的分布列 计算数学期望列不等式求解. 解 (1)的所有可能取值有6,2,1,-2. 故的分布列为 (2)E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02 =4.34(万元).,(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的 平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+ (-2)0.01=4.76-x(0x0.29),依题意,知 E()4.73,即4.76-
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