牛顿法.ppt
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1、1,7.4 牛顿法,7.4.1 牛顿法及其收敛性,牛顿法是一种线性化方法,其基本思想是将非线性方 程 逐步归结为某种线性方程来求解.,设已知方程 有近似根 (假定 ), 将函数 在点 展开,有,于是方程 可近似地表示为,(4.1),这是个线性方程,记其根为 ,则 的计算公式为,2,(4.2),这就是牛顿(Newton)法.,牛顿法的几何解释.,方程 的根 可解释为曲线 与 轴 的交点的横坐标(图7-3).,设 是根 的某个近似值, 过曲线 上横坐标为 的点 引切线,并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.,图7-3,3,注意到切线方程为,这样求得的值 必满足(4.1),从而就是牛顿
2、公式(4.2) 的计算结果. 由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法.,牛顿法(4.2)的收敛性,可直接由定理4得到,对(4.2) 其迭代函数为,由于,假定 是 的一个单根,即 , 则由上式知 ,于是依据定理4可以断定,牛顿法 在根 的邻近是平方收敛的.,4,又因,故由(2.9)可得,(4.3),例7 用牛顿法解方程,(4.4),解 这里牛顿公式为,取迭代初值 ,迭代结果列于表7-5中.,5,所给方程(4.4)实际上是 方程 的等价形式. 若用 不动点迭代到同一精度要迭代 17次,可见牛顿法的收敛速度 是很快的.,牛顿法的计算步骤:,步骤1 准备 选定初始近似值 ,计算,步骤2 迭代 按公式,迭代
3、一次,得新的近似值 ,计算,步骤3 控制 如果 满足 或 ,则终,6,止迭代,以 作为所求的根;否则转步骤4. 此处 是 允许误差,而,其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数,一般可取 .,步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 , 或者 ,则方法失败;否则以 代替 转步骤2继续迭代.,7,7.4.2 牛顿法应用举例,对于给定的正数 ,应用牛顿法解二次方程,可导出求开方值 的计算程序,(4.5),这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.,事实上,对(4.5)式施行配方手续,易知,8,以上两式相除得,据此反复递推有,(4.6),记,整理(4.6)式,得,9,对任意 ,总有 ,故由上式推知,当
4、 时 ,即迭代过程恒收敛.,解 取初值 ,对 按(4.5)式迭代3次 便得到精度为 的结果 (见表7-6).,由于公式(4.5)对任意 初值 均收敛,并且收 敛的速度很快,因此可取确定 的初值如 编成通用程序.,例8 求 .,10,7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法的优点是收敛快,缺点一是每步迭代要计算 及 ,计算量较大且有时 计算较困难, 二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛,如 给 的不合适可能不收敛.,为克服这两个缺点,通常可用下述方法.,(1) 简化牛顿法,也称平行弦法. 其迭代公式为,(4.7),迭代函数,若在根 附近成立 ,即取 ,则迭代法(4.7)局部收敛.,11,在(
5、4.7)中取 ,则称为简化牛顿法,这 类方法计算量省,但只有线性收敛,其几何意义是用平行 弦与 轴交点作为 的近似. 如图7-4所示.,图7-4,12,(2) 牛顿下山法.,牛顿法收敛性依赖初值 的选取. 如果 偏离所求根 较远,则牛顿法可能发散.,例如,用牛顿法求方程,(4.8),在 附近的一个根 .,设取迭代初值 ,用牛顿法公式,(4.9),计算得,迭代3次得到的结果 有6位有效数字.,13,但如果改用 作为迭代初值,则依牛顿法公式 (4.9)迭代一次得,这个结果反而比 更偏离了所求的根 .,为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即 具有单调性:,(4.10),满足这项要求的算法称下
6、山法.,将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函 数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.,将牛顿法的计算结果,14,与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值,(4.11),其中 称为下山因子,(4.11)即为,(4.12),(4.12)称为牛顿下山法.,选择下山因子时从 开始,逐次将 减半进行试 算,直到能使下降条件(4.10)成立为止.,若用此法解方程(4.8),当 时由(4.9)求得,15,,它不满足条件(4.10).,通过 逐次取半进行试算,当 时可求得 . 此时有 ,而 显然 .,由 计算 时 , 均能使条件(4.10) 成立. 计算结果如下 :,即为 的近似. 一般情
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