课件第1部分概率基础ProbabilityBase.ppt
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1、第1章 概率基础 Probability Base,数理统计课题组,本章大纲,1.1 概率分布与分布的特征 1.2 常见的统计分布 1.3 样本与抽样分布,1.1 概率分布与分布的特征 (Probability distributions and distribution characteristics),1.1.1 联合分布 1.1.2 随机变量函数的分布 1.1.3 条件数学期望 1.1.4 矩母函数,1.1 概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布(Joint Distribution),联合分布函数:设X1, X2, Xn是n个随机变量, 对给定的n个实数x1, x2, xn ,称
2、F(x1, x2, xn)=P (X1 x1, X2 x2, Xn xn) 为其联合分布函数。,1.1 概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布(Joint Distribution),离散型:联合概率函数 p(x1, x2, xn)=P (X1= x1, X2=x2, Xn = xn),则称f (x1, x2, xn )为其联合概率密度函数,连续型:联合概率密度函数 如果存在n维非负可积函数f (x1, x2, xn ),使得,1.1 概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布(Joint Distribution),边缘分布函数:设X1, X2, Xn是n个随机变量, F(X1, X2,
3、 Xn)为其n维联合分布函数,对正整数 1 k n,称 F 1,2,k(X1, X2, , Xk) =F(x1, x2, , xk,+,+) =P (X1 x1, X2 x2, Xk xk , Xk+1 +, Xn + ) 为k维边缘分布,这样的边缘分布有 个。,1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 【例1.1】 多项分布(Multinomial Distribution),一个随机现象共有r种可能的结果,第i种结果出现的概率为pi。做n次独立重复实验,以Ni记第i种结果出现的次数,则对给定的r个非负整数n1,n2, ,nr(n1+n2+nr =n),有,称为多项分布(
4、 r 项分布),1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 【例1.1】 多项分布(Multinomial Distribution),由于N1+N2+Nr =n,所以r 项分布实际是r-1维的,可以改记为,显然二项分布是多项分布的边缘分布,1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79),设F(x)和G(x)都是一维连续型分布函数(cdf),可以证明,对任意-1a1, H(x,y)=F(x)G(y)1+ a1-F(x)1-G(y) 是二维连续型分布函数。 H(x,)=F(x),
5、H(,y)=G(y),取F(x)和G(x)都是0,1区间的均匀分布,此时 F(x)= x, 1x1; G(y)= y, 1y1;,1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79),对a=-1 H(x,y)=xy1-(1-x)(1-y) 二维密度函数为,注:当F(x)和G(x)都是0,1区间的均匀分布时,此时联合分布函数H(x,y)称为copula,可改记为C(x,y)。,1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (
6、P77-79),1.1 概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布,设X1, X2, Xn是n个随机变量,fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)是其联合密度函数。若 Y1=g1(X1, X2, Xn),, Yn=gn(X1, X2, Xn) 是( X1, X2, Xn )与( Y1, Y2, Yn )的一一对应变换,其反变换 X1=h1(y1, y2, yn),, Xn=hn(y1, y2, yn) 具有连续的一阶偏导数,则Y1, Y2, Yn 的联合密度函数为 fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jg-
7、1 (x1, x2, xn)| 其中x1=h1(y1, y2, yn),, xn=hn(y1, y2, yn),1.1 概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布,是雅可比(Jacobian)行列式,记,fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)| 其中x1=h1(y1, y2, yn),, xn=hn(y1, y2, yn),则,1.1.2 随机变量的函数的分布 例1.3 (P99-102),设X,Y是独立的N(0,1)随机变量,其联合密度为,做变换,逆变换,1.1.2 随机变量的函数的分布
8、 例1.3 (P99-102),或由,fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)| 其中x1=h1(y1, y2, yn),, xn=hn(y1, y2, yn),1.1 概率分布与分布的特征 1.1.3 条件数学期望(Conditional Expection),设给定X=x时Y的条件分布为FY|X(y|x),则称 E(Y| X=x)=yd FY|X(y|x) 为给定X=x时Y的条件期望。如果X的取值没有事先给定, 则E(Y| X)也是随机变量, 是X的函数。,离散型,连续型,Y的函数h(Y)的条件期望
9、为 Eh(Y)| X=x=h(y)d FY|X(y|x),1.1.3 条件数学期望(Conditional Expection) 例1.4 P147,一个0,1区间的Possion过程平均发生次数为l,记N是0,1区间发生的总次数,对p 1,记X是0,p区间发生的次数,求给定N = n时X的条件分布和条件期望。,解,所以Y的条件期望为 np。,1.1.3 条件数学期望(Conditional Expection) 例1.5 P148,设X,Y是二维联合正态分布,由于,所以给定X=x时Y的条件期望为,问题 是什么,1.1.3 条件数学期望(Conditional Expectation) 全期望
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